Michael哥102667599
范文一：高阶线性方程
第四章 高阶线性方程
教学目的:使学生理解高阶线性微分方程的一般理论;熟练掌握常数变易法、
特征根法、比较系数法和Laplace变换;熟练掌握几种可降阶的高阶微分方程的
解法;能够依据解的一般表示讨论解的一些属性(
教学内容:
1、线性微分方程的一般理论
高阶线性微分方程的一般理论、常数变易法(
2、常系数线性微分方程的解法、特征根法、比较系数法、Laplace变换(
3、高阶方程的降阶和幂级数解法
幂级数解法( 几种可降阶的高阶微分方程的解法、*
教学重点:高阶线性微分方程的一般理论及解法
教学难点:比较系数法求特解
教学过程:
?4.1 线性微分方程的一般理论
4.1.1 引言
本章主要讨论如下阶线性微分方程 n
nn,1dxdxdx (4.1) ，a(t)，？，a(t)，a(t)x,f(t)1n,1nnn,1dtdtdt其中及均为区间上的连续函数( a(t)(i,1,2,？,n)f(t)a,t,bi
若，则方程(4.1)变为 f(t),0
nn,1dxdxdx (4.2) ，a(t)，？，a(t)，a(t)x,01n,1nnn,1dtdtdt称之为阶齐线性微分方程，简称为齐线性方程，称(4.1)为阶非齐线性微分方程，简称nn为非齐线性方程，称(4.2)为对应于方程(4.1)的齐线性方程(
方程(4.1)的解的存在唯一性定理
定理, 若及均为区间上的连续函数，则对于任a(t)(i,1,2,？,n)f(t)a,t,bi
(1)(n,1)意及任意的，方程(4.1)存在唯一解x,,(t)，定义于区间t,[a,b]x,x,？,x0000
上，且满足初始条件: a,t,b
n,1dtdt,(),()(1)(n,1)00 (4.3) t,x,x？,x(),,,,0000dtdt
证明在下一章给出(
4.1.2齐线性方程的解的性质与结构
首先讨论齐线性方程(4.2)，易得齐线性方程的解的叠加原理(
定理,(叠加原理) 若是方程(4.2)的个解，则它们的线性x(t),x(t),？,x(t)k12k组合也是(4.2)的解，其中是任意常数( cx(t)，cx(t)，？，cx(t)c,c,？,c1122kk12k
当时，方程(4.2)有解 n,k
(4.4) x,cx(t)，cx(t)，？，cx(t)1122nn
在什么条件下，(4.4)能成为阶齐线性方程(4.2)的通解, n
考虑定义在区间上的函数，如果存在不全为零的常数x(t),x(t),？,x(t)a,t,b12k
，使得恒等式对于任意的均成c,c,？,ccx(t)，cx(t)，？，cx(t),0t,[a,b]1122kk12k
立，则称这些函数线性相关，否则就称这些函数在所给区间上线性无关(
例(略)
由定义在区间上的个可微次的函数所成的行列x(t),x(t),？,x(t)a,t,bk,1k12k
式
W[x(t),x(t),？,x(t)],W(t)12k
x(t)x(t)x(t)？12k
,,, x(t)x(t)？x(t) 12k,？？？？
(k,1)(k,1)(k,1)x(t)x(t)？x(t)12k
称为这些函数的伏朗斯基行列式(
定理, 若函数在区间上线性相关，则在上它们[a,b]x(t),x(t),？,x(t)a,t,b12k
的伏朗斯基行列式( W(t),0
这个定理的逆命题一般不成立(例子见,105)(
定理, 若方程(4.2)的解在区间上线性无关，则x(t),x(t),？,x(t)a,t,b12kW[x(t),x(t),？,x(t)]在此区间的任何点上均不等于零，即W(t),0(a,t,b)( 12k
定理, 阶齐线性方程(4.2)一定存在个线性无关解( nn
定理,(通解结构定理) 若是方程(4.2)的个线性无关解，则x(t),x(t),？,x(t)n12n
方程(4.2)的通解可表为
(4.11) x,cx(t)，cx(t)，？，cx(t)1122nn
其中为任意常数(且通解(4.11)包括了方程(4.2)的所有解( c,c,？,c12n
推论 方程(4.2)的线性无关解的最大个数等于(因此可得结论:阶齐线性方程的所nn有解构成一个维线性空间( n
方程(4.2)的一组个线性无关解称为方程的一个基本解组，显然，基本解组不唯一( n
4.1.3 非齐线性方程与常数变易法
考虑阶非齐线性方程 n
nn,1dxdxdx (4.1) ，a(t)，？，a(t)，a(t)x,f(t)1n,1nnn,1dtdtdt
易见方程(4.2)是它的特殊情形(
性质, 若是方程(4.1)的解，而是方程(4.2)的解，则也是方程(4.1)x(t)x(t)x(t)，x(t)的解(
性质, 方程(4.1)的任意两个解之差必为方程(4.2)的解(
定理, 设是方程(4.2)的基本解组，而是方程(4.1)的某个x(t),x(t),？,x(t)x(t)12n
解，则方程(4.1)的通解可表为
(4.14) x,cx(t)，cx(t)，？，cx(t)，x(t)1122nn
其中为任意常数(且通解(4.14)包括了方程(4.1)的所有解(
定理告诉我们，要解非齐线性方程，只需知道它的一个解和对应的齐线性方程的基本解
组即可(事实上，只要知道对应的齐线性方程的基本解组就可以利用常数变易法求得非齐线
性方程的解(
常数变易法 设是方程(4.2)的基本解组，因而 x(t),x(t),？,x(t)12n
(4.15) x,cx(t)，cx(t)，？，cx(t))1122nn
为(4.2)的通解(把其中的任意常数c看作的待定函数，(4.15)变为 c(t)(i,1,2,？,n)tii
(4.16) x,c(t)x(t)，c(t)x(t)，？，c(t)x(t))1122nn
将它代入方程(4.1)，就得到必须满足的一个方程，但待定函数有c(t),c(t),？,c(t)n12n
个，为了确定它们，还需再找出个限制条件，理论上，这些条件可任意给出。 n,1
如果已知对应的齐线性方程的基本解组，则非齐线性方程的任一解可由求积得到(因此，
对于线性方程来说，关键是求出齐线性方程的基本解组( 例,(见课本P112例1)
例2(见课本P112例2)
作业 P113 (1、2、4、6、7、8、9)
?4.2 常系数线性微分方程的解法 4.2.1 复值函数与复值解
如果对于区间中的每一实数，有复数，其中z(t),,(t)，i,(t),(t)和,(t)a,t,bt
是在区间上定义的实函数， 是虚数单位，则称在区间给定了一个复值a,t,bia,t,b实函数( z(t)
如果当趋于时有极限，并且定义 t,(t)和,(t)t0
limz(t),lim,(t)，ilim,(t)t,tt,tt,t000
如果，则称在连续( z(t)tlimz(t),limz(t)00t,tt,t00
显然在连续相当于在连续( z(t)tt,(t)和,(t)00
当在区间上每一点连续时，就称在区间连续( z(t)z(t)a,t,ba,t,b
zt,ztdz(t)()()00,如果极限存在，就称在有导数(且记此极限为或( tz(t)z(t)lim00t,t0dtt,t0
显然在有导数相当于在有导数，且 z(t)tt,(t)和,(t)00
dz(t)d(t)d(t),,000i ,，dtdtdt
如果z(t)在区间上每一点都有导数，就称z(t)在区间上有导数( a,t,ba,t,b高阶导数可以类似地定义(
设、是定义在上的可微函数，是复值常数，易证下列等式成立: z(t)z(t)ca,t,b12
ddz(t)dz(t)12[z(t)z(t)] ，,，12dtdtdt
ddz(t)1 [cz(t)]c,1dtdt
ddz(t)dz(t)12[z(t)z(t)]z(t)z(t) ,,,，,1221dtdtdt
设为任一复数，这里为实数，为实变量，定义 K,,，i,,,,t
Kt(,，i,)t,t e,e,e(cos,t，isin,t)
由上式可得
1i,t,i,t cos,t,(e，e)2
1i,t,i,t sin,t,(e,e)2i
Kt 的性质 e
(K，K)tKtKt1212(1) e,e,e
KtdeKt(2) ,Kedt
ndKtnKt(3) e,Kendt
定义于区间上的实变量复值函数称为方程(4.1)的复值解，如果 x,z(t)a,t,b
nn,1dz(t)dz(t)dz(t) ，a(t)，？，a(t)，a(t)z(t),f(t)1n,1nnn,1dtdtdt对于恒成立( a,t,b
定理, 如果方程(4.2)中所有系数是方程的复值解，则的x,z(t),,(t)，i,(t)z(t)
实部、虚部和共轭复值函数也都是方程(4.2)的解( ,(t)z(t),(t)
定理, 若方程
nn,1dz(t)dz(t)dz(t) ，a(t)，？，a(t)，a(t)z(t),u(t)，iv(t)1n,1nnn,1dtdtdt有复值解，这里及都是实值函数，那么这x,U(t)，iV(t)a(t)(i,1,2,？,n)u(t),v(t)i
个解的实部和虚部分别是方程 V(t)U(t)
nn,1dxdxdx ，a(t)，？，a(t)，a(t)x,u(t)1n,1nnn,1dtdtdt
和
nn,1dxdxdx ，a(t)，？，a(t)，a(t)x,v(t)1n,1nnn,1dtdtdt
的解(
4.2.2 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程
设齐次线性微分方程中所有系数都是常数, 即方程形式为
nn,1dxdxdx , (4.19) L[x],，a，？，a，ax,01n,1nnn,1dtdtdt
其中为常数. 称(4.19)为阶常系数齐次线性微分方程. a,a,？,an12n
(4.19)的基本解组的殴拉待定指数函数法(又称为特征根法) (4.20)为(4.19)的解的充要条件是是代数方程 ,
nn,1 (4.21) F(,),,，a,，？，a,，a,01n,1n
的根. 称它为方程(4.19)的特征方程, 它的根就称为特征根.
(1) 特征根是单根的情形
n设是特征方程(4.21)的个彼此不相等的根, 则相应的方程(4.19)有如下,,,,？,,n12n
的解
,t,t,tn12, (4.22) e,e,？,e
n个解在区间上线性无关, 从而组成方程的基本解组. a,t,b
n如果均为实数, 则(4.22)是方程(4.19)个线性无关的实数解, 方,(i,1,2,？,n)i
程(4.19)的通解为
,t,t,tn12, 其中为任意常数. x,ce，ce，？，cec,c,？,c1212nn
如果特征方程(4.21)有复根，由于其系数是实的，它的复根一定是共轭成对地出现. 设
是一特征根, 则也是(4.21)的根. 由定理4.8， 这两个特征根所对,,,，i,,,,,i,12
应的解是实变量复值函数, 因而与这对共轭复根对应的, 方程(4.19)有两个复值解
,,,(，i)tt,,e,e(cost，sint), (,,i,)t,te,e(cos,t,sin,t).
由定理4.8，它们的实部和虚部也是方程的解. 这样可求得方程(4.19)的两个实值解
,t,t ecos,t,esin,t.
(2)特征根有重根
,t1 设是(4.21)的重根(实的或复的)，由定理4.8知是(4.21)的一个解， k(1,k,n),e1
如何求出其余的k-1个解呢?
nn,1kdxdxdxka？a设, 即特征方程有因子,有个解，，，,0,,,0,k11n,1nn,1kdtdtdt2k,1 而且它们是线性无关的. 1,t,t,？,t,
,t1如果这重根, 作变量变换, ,方程(4.19)有个解 ,,0x,yekk11
,t,t,tk,1,t211111 (4.25) e,te,te,？,te,
对于特征方程有复重根的情况, 不妨假设是重特征根, 则也,,,，i,,,,，i,k
是重特征根, 仿1)处理, 得到(4.19)的个实值解 2kk
,,,,ttt2tk,1,,,,ecoste,tcoste,tcoste,？,tcost ,t,t,t2,tk,1esin,te,tsin,te,tsin,te,？,tsin,t
4dx例1 求方程的通解. ,x,04dt
t,t(通解为 , 这里为任意常数.) x,ce，ce，ccost，csintc,c,c,c12341234
3dx例2 求方程的通解. ，x,03dt
1t33,t2(通解为 , 这里为任意常数) c,c,c,x,ce，e(ccost，csint)12312322
32dxdxdx例3 求方程的通解. ,3，3,x,032dtdtdt
2t(通解x,(c，ct，ct)e, 这里c,c,c,为任意常数) 123123
42dxdx例4 求方程的通解. ，2，x,042dtdt
(通解为 , 这里为任意常数.) x,(c，ct)cost，(c，ct)sintc,c,c,c12341234作业 2(单号习题) P164
欧拉方程
形如
nn,1dydydynn,1 (4.29) x，ax，？，ax，ay,01n,1nnn,1dxdxdx
的方程称为欧拉方程，其中为常数. 此方程可以通过变量变换化为常系数齐次a,a,？,a12n
线性微分方程，因而求解问题也就可以解决.
方程(4.31)的重实根，对应于方程(4.29)的个解 K,Kmm0
KKKK2m,10000 x,xlnx,xlnx,？,xlnx
方程(4.31)的重复根，对应于方程(4.29)的个实值解 K,,，i,m2m
,,,m,1， xcos(,lnx),xlnxcos(,lnx),？,xlnxcos(,lnx)
,,,m,1. xsin(,lnx),xlnxsin(,lnx),？,xlnxsin(,lnx)
2dydy2例5 求方程的通解 x,x，y,02dxdx
(通解为, 这里为任意常数.) y,(c，clnx)xc,c1212
2dydy2例6 求方程的通解 x，3x，5y,02dxdx
1(通解为, 这里c,c为任意常数) y,(ccos(2lnx)，csin(2lnx))1212x
,4.2.3 常系数非齐次线性微分方程比较系数法与拉普拉斯变换法
常系数非齐次线性微分方程
nn,1dxdxdx L[x],，a，？，a，ax,f(t) (4.32) 1n,1nnn,1dtdtdt
的求解问题，其中a,a,？,a为常数，而f(t)为连续函数. 12n
(一) 比较系数法
类型1
,1mm,t设 ，其中及()为实常f(t),(bt，bt，？，bt，b)ebi,0,1,？,m,01,1imm数，则方程(4.32)有形如
,1kmm,t， (4.33) x,t(Bt，Bt，？，Bt，B)e01,1mm的特解，其中为特征方程的根的重数(单根相当于=1;当不是特征根时，F(,),0,,kk
取=0)，而是待定常数，可以通过比较系数法来确定. B,B,？,B,Bk01m,1m
(1) 如果=0，则此时 ,
mm,1 f(t),bt，bt，？，bt，b01m,1m分两种情形讨论
1) 在=0不是特征根的情形，即， F(0),0,
2) 在=0是重特征根的情形，即,k
(k,1)(k),， F(0),F(0),？,F(0),0,F(0),0
,t,(2) 如果0，则作变量变换，将方程(4.32)化为 x,ye,
nn,1dydydym (4.37) ，A，？，A，Ay,bt，？，b1n,1n0mnn,1dtdtdt
其中都是常数. A,A,？,A12n
在不是特征方程(4.21)的根的情形，方程(4.37)有特解 ,
mm,1，因而方程(4.32)有特解 y,Bt，Bt，？，Bt，B01m,1m
,1mm,t. x,(Bt，Bt，？，Bt，B)e01,1mm在是特征方程(4.21)的重根的情形，方程(4.37)有特解 ,k
kmm,1，因而方程(4.32)有特解 y,t(Bt，Bt，？，Bt，B)01m,1m
,1kmm,tx,t(Bt，Bt，？，Bt，B)e. 01,1mm
2dxdx例7 求方程的通解 ,2,3x,3t，12dtdt
13t,t(通解为) x,ce，ce,t，123
2dxdx,t例8 求方程的通解 ,2,3x,e2dtdt
13t,t,t(通解为) x,ce，ce,te124
32dxdxdx,t例9 求方程的通解 ，3，3，x,e(t,5)2dt3dtdt
12,t3,t(通解为，这里为任意常数) c,c,cx,(c，ct，ct)e，t(t,20)e12312324
3 作业 P164
类型2
,t设 ，其中为实常数，而是带实A(t),B(t)f(t),[A(t)cos,t，B(t)sin,t]e,,,
系数的的多项式，其中一个的次数为，而另一个的次数不超过，则有如下结论:方mmt
程(4.32)有形如
k,t， (4.38) x,t[P(t)cos,t，Q(t)sin,t]e的特解，其中为特征方程的根的重数，而为待定的带实F(,),0,，i,P(t),Q(t)k
，可以通过比较系数法来确定. ,,,,P(t),2ReD(t),Q(t),2ImD(t)
2dxdx例10 求方程的通解 ，4，4x,cos2t2dtdt
1,2t,2t(通解为) x,ce，cte，sin2t128
特殊情形
,t,t f(t),A(t)ecos,t,或f(t),B(t)esin,t
可用复数法求解.
2dxdx例11 求方程，4，4x,cos2t的通解 2dtdt
1,2t,2t (通解为) x,ce，cte，sin2t128
(二)拉普拉斯变换法
常系数齐次线性微分方程(组)还可以应用拉普拉斯变换法进行求解.
由积分
,st, F(s),ef(t)dt,0
所定义的确定于复平面()上的复变数的函数，称为函数的拉普拉斯Res,,F(s)f(t)s
,t变换，其中于上有定义，且满足不等式 ，这里 f(t)f(t),Met,0
为两个正常数. 称为原函数，而称为像函数. M,,f(t)F(s)
应用
设给定微分方程
nn,1dxdxdx (4.32) ，a，？，a，ax,f(t)1n,1nnn,1dtdtdt
(n,1)n,1,,及初始条件 ，其中为常数，而x(0),x,x(0),x,？,x(0),xa,a,？,af(t)12n000为连续函数且满足原函数的条件.
dx2t例12 求方程满足初始条件的解 x(0),0,x,edt
2tt(解为) x(t),e,e
2,,,,例13 求解方程;，其中为非零常数. x(0),x,x(0),xa,bx，ax,bsinat00
,xb0解为xtatatatxatat()(sincos)cossin,,，，022aa 1,,，，,[(2)sin(2)cos)]baxataaxbtat0022a
习题 第165页第4、6、7题
?4.3 高阶方程的降阶和幂级数解法
4.3.1 可降阶的一些方程类型
阶微分方程一般地可写为 n
(n), F(t,x,x,？,x),0
(k,1),(1)方程不显含未知函数，或更一般地，设方程不含，即方程为 x,x,？,xx
(k)(k，1)(n) (1,k,n) (4.57) F(t,x,x,？,x),0
(k)令 ，则方程即降为关于的阶方程 yx,yn,k
,(相当于的情形)，则由变换便把方程化为特别地, 若方程不显含n,2,k,1x,yx
一阶方程.
54dx1dx例, 求方程的解. ,,054tdtdt
532(通解为，其中是任意常数) x,ct，ct，ct，ct，cc,c,？,c12345125
(2)不显含自变量的方程 t
(n), (4.59) F(x,x,？,x),0
,，并以它为新未知函数，而视为新自变量，则方程可降低一阶. 令 x,yx
2,,,例2 求方程的解. xx，(x),0
2(通解为其中是任意常数) x,ct，c(c,2c)c,c111(3)齐线性微分方程
,1nndxdx (4.2) ，a(t)，？，a(t)x,0n1nn,1dtdt
4.3.2 二阶线性微分方程的幂级数解法 考虑齐线性微分方程
2dydy (4.72) ，p(x)，q(x)y,02dxdx
,,及初始条件的情况. y(x),y,y(x),y0000定理10 若方程(4.72)中系数和都能展成的幂级数，且收敛区间为p(x)q(x)x
，则方程(4.72)有形如 x,R
,ny,ax (4.73) ,nn0,
的特解，也以为级数的收敛区间. x,R
阶贝塞尔方程 n
2dydy222 (4.74) x，x，(x,ny),02dxdx
4.3.3 第二宇宙速度计算
建立物体垂直上抛运动的微分方程. 以分别表示地球和物体的质量.按牛顿万有M,m引力定律，作用于物体的引力(空气阻力忽略不计)为 F
mM (4.80) F,k2r
这里表示地球的中心和物体重心之间的距离，为万有引力常数. rk
53(米/秒). V,2gR,2，9.81，63，10,11.2，100
第二宇宙速度指的就是公里/秒这个速度. V,11.20
习题4.3 第182页 1(3)、(3)、(5)，2(1)，4，5，7
范文二：第四章高阶线性方程
第四章 高阶线性方程
教学目的 :使学生理解高阶线性微分方程的一般理论; 熟练掌握常数变易法、 特征根法、比较系数法和 Laplace 变换;熟练掌握几种可降阶的高阶微分方程的 解法;能够依据解的一般表示讨论解的一些属性.
教学内容 :
1、线性微分方程的一般理论
高阶线性微分方程的一般理论、常数变易法.
2、常系数线性微分方程的解法、特征根法、比较系数法、 Laplace 变换.
3、高阶方程的降阶和幂级数解法
几种可降阶的高阶微分方程的解法、 *幂级数解法.
教学重点 :高阶线性微分方程的一般理论及解法
教学难点 :比较系数法求特解
教学内容简介 :
一、高阶方程与一阶方程组
1 n 阶线性微分方程的一般形式
2 齐次与非齐次的情况
二、 Wronski 行列式定义
三、通解结构定理
四、非齐次线性方程与常数变异法
五、例题
六、复值函数与复值解
复值函数的定义
复值函数的求导与积分
七、常系数齐次线性微分方程和欧拉方程
特征根法
例题
八、非齐次线性微分方程
比较系数法
拉普拉斯变换法
例题
九、质点震动
关于弹性振动问题
).
, 0
(
, 0>
≥
=
+
+b
a
bx
x a
x
m &
&&
分成下列几种情况讨论
1、无阻尼自由振动
物理解释, 谐振动 2、有阻尼自由振动 有限运动,阻尼谐振
3、无阻尼强迫振动
4、有阻尼强迫振动 共振现象
十、高阶微分方程 降阶法
幂级数法
例题
范文三：高阶线性常系数阶线性方程
第六章 常微分方程
6-3高阶线性方程
6-3-1 高阶线性常系数方程的解 6-3-2 Euler方程
第二十三讲 高阶线性常系数阶线性方程
6-3-1 高阶线性常系数齐次方程的解 考察n 阶线性常系数齐次方程
n n -1d x d x d x
+++.... +a n x =0 a a 1n -1n n -1d t d t d t
其中a 1,..., a n 为实常数.
或记成 L (D )x =0
由上一段的讨论知道, 方程L (D )x =0在区间(-∞, +∞) 有n 个线性无关解, 通解是这些解的线性组合。 (一) 特征方程：
若L (D )x =0有形如y =e λt 的解，则λ必须是代数方程
n n -1
L (λ)=λ+a 1λ+... +a n =0
之根。
这个代数方程称为微分方程L (D )x =0的特征方程(characteristic equation). 特征方程的根称为特征根.
(二) . 特征根与方程L (D )x =0解的对应关系.
先以二阶为例说明结果：
微分方程: L 2(D )x =y ''+a y '+by =0
特征方程：L 2(λ)=λ+a λ+b =0
2
(1), λ1, λ2是特征方程L 2(λ)=0的不等实根, 则 e 1, e
λt
λ2t
是方程L 2(D )x =0的两个无关解.
(2), λ1=λ2是特征方程L 2(λ)=0的重根;
则 e 1, te
λt
λ1t
是方程L 2(D )x =0的两个无关解.
(3), λ=α±i β是特征方程L 2(λ)=0的一对共轭复根, 则 e αt Cos t , e αt Sin t 是方程L 2(D )x =0的两个无关解. 其中用到结果：
● 设z (t ) =u (t ) +iv (t ) , 定义它的导数为
dz du dv =+i . dt dt dt
如果复值函数 z (t ) =u (t ) +iv (t ) 是齐次方程L (D )x =0的解, 则 实部u (t ) 和虚部v (t ) 都是L (D )x =0的实解.
λt αt
● 欧拉公式：e =e (cosβt +sin βt )
对n 阶方程 L n (D )x =0
(1). 设λ是特征方程L n (λ)=0的实根, 则e
λt
是方程L n (D )x =0的实解.
(2) 设α±i β是特征方程的一对单重复根,
αt αt
则e cos βt , e sin βt 是方程L n (D )x =0的两个无关实解.
(3). 设λ是特征方程的 k (1
λt λt k -1λt
则e , te ,..., t e 是方程L n (D )x =0的k 个无关实解.
(4). 设α±i β 是特征方程的一对 k (1<2k ≤n="" )="" 重复根,="" 则="" e="" αt="" cos="" βt="" ,="" e="" αt="" sin="" βt="" ,="" ,="" t="" k="" -1e="" αt="" cos="" βt="" ,="" t="" k="" -1e="" αt="" sin="" βt="" 是方程l="" n="" (d="" )x="0的2k">
由此可知：对应特征方程L n (λ)=0的n 个根，包括重根, 均能得到方程
L n (D )x =0的n 个线性无关解.
例1:设μ为实数, 求方程x ''+μx =0的通解.
2
解: 特征方程为λ+μ=0.
1. μ>0, 此时特征方程有一对单重复根 e
i t
λ=±i , 方程有两个无关解
cos μt ,sin t .
因此方程的通解为 c 1c o t +c 2s i 2. μ=0, 此时特征方程有一个二重根
t (c , c ∈R ) .
1
2
λ=0. 方程有两个线性无关解
?1(t ) =1, ?2(t ) =t , 于是方程为x (t ) =c 1+c 2t . 3. μ<0, 时特征方程有两个单重根="">
λ=±-. 方程有两个线性无关解
1
, e -
, 且方程通解为
x (t )=c e
+c 2e
-t
.
(4)
例2: 求方程x -x =0 的通解.
4
解: 特征方程为λ-1=0. 它有四个单根λ1, 2=±1, λ3, 4=±i . t -t
该方程有四个线性无关解e , e ,cos t ,sin t .
t -t
因此方程通解为 x (t ) =c 1e +c 2e +c 3cos t +c 4sin t .
例3 :求方程x '''-3x ''+3x -x =0通解.
32
解: 特征方程λ-3λ+3λ-1=0 有一个三重根λ=1 . t t 2t
于是方程有三个线性无关解e , t e , t e ,
所以通解为
t t 2t 2t
x (t ) =c 1e +c 2t e +c 3t e =(c 1+c 2t +c 3t ) e .
例4:求方程x
(4)
+2x (2)+x =0通解.
解:特征方程λ4+2λ2+1=(λ2+1) 2=0. 它有一对二重复根±i . 于是该方程有四个线性无关解cos t ,sin t , t cos t , t sin t . 所以通解为
x (t ) =(c 1+c 3t ) cos t +(c 2+c 4t ) sin t .
6-3-2 高阶线性常系数非齐次方程的解
现在讨论线性常系数非齐次方程
n n -1d x d x d x
+++.... +a n x =f (t ) a a 1n -1
d t n d t n -1d t
其中a 1,..., a n 为实常数, f (t ) 是已知连续函数.
方程可记成：L n (D )x =f (t ).
若相应的齐次方程L n (D )x =0 的一般解是：(t )=
∑c x (t ), 因此,
i i
i =1
n
如果又能够求得L n (D )x =f (t )的一个特解Y (t ), 就能够写出其通解: x (t )=(t )+Y (t )=
∑c x (t )+Y (t )
i i
i =1
n
一般情况下可以用常数变异法根据L n (D )x =0的通解求出
L n (D )x =f (t ) 的一个特解. 但对于 右端函数f (t ) 属于某些简单类型时,
可以用观察侍定方法求非齐次的一个特解. 下面我们以二阶方程为例说明这种方法. 对于高阶方程也可以类似地求解. 考察二解线性常系数方程
2
dx d x +a +bx =f (t ) L 2(D )x =2
d t dt
假定右端函数具有形式 f (t ) =P (t ) e 其中P (t ) 是t 的一个多项式.
比较系数法的出发点是假定方程L 2(D )x =P (t )e αt 有一个形如 x (t ) =Q (t ) e αt
的解, 其中Q (t ) 是t 的一个多项式. 问题是如何确定Q (t ) 的次数和系数.
根据解的概念 , 将x (t ) =Q (t ) e αt 代入方程L 2(D )x =P (t )e αt , 只要的系数设定适当，通过比较两端的多项式的系数就可以最后求出
αt
Q (t ) , 从而求出非齐次的一个特解.
由(3.19)得到
将x (t ) =Q (t ) e αt 代入方程L 2(D )x =P (t )e αt , 得
Q ''(t )+(2α+a ) Q '(t ) +(α+a α+b ) Q (t ) =P (t ) (*)
2
下面分三种情形讨论.
(1) 当α不是特征根时, 即 α+a α+b ≠0
(*) 左端是 一个次数与Q (t ) 相同的多项式. 于是为了使(*) 两端多项 式次数相等, Q (t ) 应当是一个与P (t ) 次数相同的多项式.
(2) . 当α是特征根, 但非重根时, 即 α+a α+b =0 , 2α+a ≠0 (*) 左端是 一个次数与Q '(t ) 相同的多项式. 于是为了使(*) 两端多 项式次数相等, Q (t ) 应当是一个比P (t ) 次数高一次的多项式. 此时可以取
Q (t ) =tR (t ) ,
这里R (t ) 是一个次数与P (t ) 相同的多项式.
(3) . 当α是特征堇根时, 即 α+a α+b =0 , 2α+a =0 (*) 左端是 Q ''(t ) . 于是为了使(*) 两端多项式次数相等, Q (t ) 应当是一个比P (t ) 次数高二次的多项式. 此时可以取
Q (t ) =t R (t ) , 例5:求方程x ''+x '=2t +1的通解.
2
2
2
2
2
解: 间方程写作 x ''+x '=(2t +1) e 0t .
2
因为λ=0是特征方程λ+λ=0的单根, 所以应当寻找方程形如
x 0(t ) =t (at 2+bt +c ) e 0t =at 3+bt 2+ct
的特解. 将这个解代入原方程得到
3a t 2+(2b +6a ) t +(c +2b ) =2t 2-3
比较两端同次项的系数得到
3a =2, 2b +6a =0, c +2b =-3.
解这个方程组得到a =
2
, b =-2, c =1. 从而得到原方程的一个特解 3
232
(t ) =x 0t -2t +t .
3
'' '
又求得相应的齐次方程x +x =0的通解
-t
x (t ) =c 1+c 2e . 所以方程通解为
x (t ) =c 1+c 2e -t +t 3-2t 2+t .
例6: 解方程x ''-2x '+x =4te .
2
解: λ=1是特征方程λ-2λ+λ=0的重根, 设特解为
2t
x 0(t ) =t (at +b ) e
t t
将这个解代入方程得到(6at +2b ) e =4t e .
223t
比较系数得到a =, b =0. 于是得到方程的一个特解Y (t ) =t e .
33
t
相应地齐次方程的通解是x (t ) =(c 1+c 2t ) e . 因此原方程的通解为
23t t
x (t ) =(c 1+c 2t ) e +t e .
3
''
例7:解方程 x -x =4cos t ,
23
t
解1:考虑方程
'' it
x -x =4e =4(cost +i sin t )
这个方程的解是复值函数, 其实部就是题设方程的解.
'' it
现在首先求解方程x -x =4e =4(cost +i sin t ) , 由于虚数i 不是 2
特征方程λ-λ=0的根, 所以对于此方程 应当寻求形如
x 0(t ) =(A +iB ) e
it
的特解(A , B 为实常数). 将这个解, 比较系数, 得到
it it
-2(A +iB ) e =4e .
'' it
由此得到A =2, B =0, 于是求出x -x =4e =4(cost +i sin t )
的一个特解为
x 0(t ) =-2e .
it
它的实部-2cos t , 就是题设的一个特解.
'' t -t
另外又求得相应的齐次方程x -x =0的通解, x =c 1e +c 2e , t -t
t . 因此所求之的通解为 x =c 1e +c 2e -2c o s
'' ' αt
解2: 形如 x +a x +bx =P (t ) e (d 1cos βt +d 2sin βt )
(其中P (t ) 为多项式, d 1, d 2为常数.) 的方程, 可以直接用比较系数法求解 例8:求方程
2''
x +ωx =H sin βt (3.25)
其中H , ω, β为常数.
2''
解:此方程对应的齐次方程x +ωx =0的通解为
x =c 1cos ωt +c 2sin ωt .
H
x (t ) =cos ωt +sin ωt +sin βt . 1. c 1c 222
ω+β
2. 若β=ω, 则i β是特征根, 并且是单重根, 此时 , 从而方程通解是
x (t ) =(c 1-
解:考察以下两个方程:
H
t )cos ωt +c 2sin ωt . 2ω
'' 22t
例9:求方程x -x =t +1+t e 的一个特解.
'' 2'' 2t x -x =t +1, x -x =t e .
2
y 2=(-) e 2t . 用比较系数法分别求出这两个方程的特解:y 1=-t -2,
t 4
39
于是这两个解之和就是原方程的一个解:
t 4
y =y 1+y 2=:-t 2-2+(-) e 2t .
39
6-3-2 Euler方程
n -1
d y d n y y n -1d +a t +... +a t +a n y =0 形如 x 1n -1
dt dx n dt n -1
n
的方程称为Euler(欧拉) 方程. 其中a 1, a 2,..., a n 为常数.
从解的存在唯一性条件看, 对于这种方程, 由于系数分别在(0, +∞)和
(-∞, 0)中连续，因此应当分别考虑x >0和x <0的情形.>
考虑x >0的情形。且以二阶为例:
d y d 2y
x +a x +a 2y =0. 12
d x dx
2
(1) 观察待定法
● 由方程特点观察，方程可能有形如幂函数的解，可令解为：y =x ,
再代入方程, 得：(λ(λ-1)+a 1λ+a 2)x =0,
λ
λ
特征方程：λ(λ-1)+a 1λ+a 2=0 ● 特征根与解的对应关系：
单实根：λ?x ;
λ
实重根:
λλ
λ1=λ2?x , ln x x
1
1
共轭复根：α±i β?x αcos (βln x ), x αsin (βln x )
(2) 变量置换法
从前面结果可以看到，若作代换t =ln |x |, 可以将上述方程化为未知函数y =y (t ) 的常系数方程. 因为：
dy dy dt dy 1dy d y
; ==?x =
dx dt dx dt x dt d t
2
d 2y dy d 2y d 2y 1dy 12d y =22-?x =-. 2222
dt x dt dx dt x dt d t
d y d 2y
代入原方程x +a x +a 2y =0, 即可得： 12
d x dx
2
d y d 2y
+a x +a 2y =0. 1
d x dt 2
2
dx d x +2t +2x =0. 例12:解方程t d t 2dt
2
解
2
d x dx
++2x =0. 2
d s ds
77s +c 2sin s ) 即 22
177
x (t ) =|t 2(c 1cos ln|t |+c 2sin ln|t |).
22
6-3-3 曲线簇的微分方程
-
于是方程通解为x (s ) =e 2(c 1cos
s
6-3-4 振动问题
设一质量等于m 的小球 被弹簧吊着，从平衡状况开始, 在空气中作垂直方
向的振动.
用x (t ) 表示质点 在时刻t 的位置. 质点 在运动过程中受到两个力的作用:
弹簧恢复力, 与位移成正比, 方向与位移相反的力-kx (t ) (k >0为常数);
'
力是空气阻力, 它与速度成正比, 方向相反, -μx (t ) (μ>0是常数).
又假定弹簧在运动过程中受到沿ox 轴方向的外力f (t ) 作用. 由Newton 第二定律得到弹簧的运动方程为
'' '
m x +μx +kx =f (t )
为了讨论方便, 我们将上述方程改写成下面的形式:
2'' '
x +2n x +ωx =f (t )
除了弹簧振动外, 许多运动, 例如钟摆的往复运动, 机械振动, 电路振荡都可以用这个方程作为其数学模型. 有无外力, 我们分为几种情形讨论. (一) .自由振动: 即无外力作用(f (t ) =0) 1. 无阻尼自由振动
当阻尼系数μ=0时, 有n =0. 此时方程(4.29)变成 x +ωx =0 其通解为x (t ) =c 1cos ωt +c 2sin ωt 或者
''
2
x (t ) =A sin(ωt +θ) (A , θ∈R )
因此, 不论初始位置x 0和初始速度v 0是什么, 运动规律总是一个正弦函数. 其周期等于T =
2π
ω
, 振动频率ω与初始位置x 0和初始速度v 0无关. A 和θ分别
是振幅和初始位相,(它们由初始位置x 0和初始速度v 0决定). 2. 有阻尼自由振动
当阻尼系数μ>0时, n >0, 方程 (3.30)变成
2'' '
x +2n x +ωx =0
2222
其特征方程为λ+2n λ+ω=0, 特征根为λ12n -ω. 这时又可以分, =-n ±
三种情况:
(1)小阻尼自由振动:n <ω. 此时特征根为λ1,="" 2="-n" ±i="" ω1,="">
ω=ω-n >0. 因此 的通解为
2
2
1
-nt -nt
x (t ) =e (c 1cos ω1t +c 2sin ω1t ) =A e sin(ω1t +θ)
上式表明, 这是一个随时间t 增长而衰减的振动. 其中周围T 1=值无关.
2π
ω
仍然与初
1
(2) 临界阻尼振动: n =ω. 此时特征根为λ1=λ2=-n (<0) ,="" 方程="" 的通解为="">
(3)大阻尼自由振动:n >ω. 此时两个相异特征根λ1, λ2均为负数, 方程(3.32)通解为
x (t ) =c 1e +c 2e 因此这时仍然是衰减运动, 不发生振动.
λ1t
λ2t
x (t ) =e -nt (c 1+c 2t )
其中c 1=x 0, c 2=v 0+n x 0. 由(4.34)知道, 此时是一个衰减运动, 不发生振
(二) .强迫振动, 即f (t ) 不恒等于零. 通常 假定弹簧只受到周期外力
f (t ) =H sin pt (H , p >0)
的作用.
1. 无阻尼强迫振动 此时方程(3.29)变成
2''
x +ωx =H sin pt
并且方程的通解为x (t ) =A sin(ωt +θ) . 这时又可以分为三种情形考虑: (1) 当p ≠ω即外加频率不同于固有频率时, 用待定系数法可求得一个特解
x 0(t ) = 因此通解为
H
sin pt , 22
ω-p
H
sin pt (A , θ∈R ) . 22
-p ω
x (t ) =A sin(ωt +θ) +
这是一个由固有振动(齐次方程通解) 和外力迭加而成的有界振动. (2)当p =ω 即外加频率等于于固有频率时, 用待定形式解
x 0(t ) =t (M cos ωt +N sin ωt ) (M , N ∈R )
通过比较系数法得到一个特解为 x 0(t ) =- 于是方程通解为
x (t ) =A sin(ωt +θ) -
H
t cos ωt . 2ω
H
t cos ωt (A , θ∈R ) 2ω
由此可以看出, 虽然外力是有界的, 但是x (t ) 的振动却是无界的, 因为当
t →+∞, 式中的右端第二项的振幅趋向于无穷大. 这就是物理学中著名的共
振现象, 即小的外力导致大的振动. 2. 有阻尼强迫振动
我们仅讨论小阻尼情形:0
2'' '
x +2n x +ωx =H sin pt .
并且) 相应的齐次方程的通解为
-nt
x (t ) =A e sin(ω1t +θ)(ω1=
-n >0) .
2
2
又用比较系数法得到非齐次的一个特解
x 0(t ) =M cos ωt +N sin ωt (M , N ∈R ) , 其中
-2npH (ω2-p ) H
M =222, N =222
22
(ω-p ) +4n 2p (ω-p ) +4n 2p
若令
2
B =
则的通解为
H
2
(ω2-p ) +4n 2p
2
2
>0, θ=tg
-1
-2np
2. 2
-p ω
*-nt
x (t ) =A e sin(ω1t +θ) +B sin(pt +θ) .
因此解仍然是振动的, 它由两部分组成:式 中第一项为固有的衰减振动; 第二项为周期外力引起的周期振动. 不难验证, 当外加力的频率为p =幅最大, 即这时有B =B max =
ω-2n 时, 外加力产生的强迫振
2
2
H 2n ω2-n 2
.
范文四：高阶常系数线性方程解构造定理的简证
高阶常系数线性方程解构造定理的简证
第25卷第2期
2006年3月
许昌学院
JOURNA1OFXUCHANGUNIVERSITY Vo1.25.No.2
Mar.2006
文章编号:1671—9824(2006)02—0149—03 高阶常系数线性方程解构造定理的简证
赵临龙,李庆广
(1.陕西安康师专数学系,陕西安康725000;2.许昌学院,河南许昌461000)
统一给出常系数线性微分方程齐次通解和非齐次特解解构摘要:4,1用线性变换,
造定理的
简化证明.
关键词:常系数线性方程;解构造;证明
中图分类号:0175.1文献标识码:A
1齐次方程通解定理的简证
定理l对于常系数线性齐次方程:
,J[y]=ny'n'+n一1Y'一+??'+n1Y+aoY=0(n?0)(1) l.若有n个互异的特征根1,2…,,则(1)有n个特解: e
^I
.e
A2,X
,
…
,e(2)
2.若有两两互异的特征根1,2,…,,它们的重数分别为m1,m2,…,m,其中mi?l(单根
Ai取mi
:1),且m1+m2+…+mp=n,则(1)有n个特解:
e
^.
.e
^.
,
2eAI
,
…Xml-1
e
^.;e^
,e
^zX2
e
A
2
X
~
~..
,
xm2-1ez;…,e,e,e,…,xme-1e
(3)
一般《常微分方程》的教材(比如[1])在证明定理l时,都是考虑0和i?0两种情
况.今统一的给
出定理证明.
引理l[2对于方程(1),若Y=Zeh(为常数),则
?1()=0(4)
』=0J'
其中F()为特征方程:
F()=n,+n一1一+…+n1+no=0(5)
定理l的证明
对于(1)若有m.重特征根(i=l,2,…,P),则
F()=F()=???=F-一()=0,F-(i)?0.
此时,方程(4)为:
?F()z")-0(6),一J'
现取Z=Xs(s=l,2,…,m.),则当?m时,
z(J):(Xs一)'):0(7)
收稿日期:2005—12—13
基金项目:陕西省教育厅科研专项资助项目(99JK092). 作者简介:赵临龙(1960一),男,陕西西安人,教授,研究方向:常微分方程
150许昌学院2006年3月
即Z:X,s一-(s:1,2,…,mi)为方程(6)的解,从而Y=Ze=e.~ix(s=1,2,…,m)为方程(1)的
解.
于是,当mI+m2+…+m=n,方程(1)有n个解(3). 另外,对于(1)的特征根(=1,2,…,n)为单根(1重根),即 elm2…=m.=1
此时,取Z=1,由于Z(』)=(1)'』)=0,则(4)为:
F()=0(i=1,2,…,n)(8)
即z:1是方程(4)的解,从而Y=Ze"=e(=1,2,…,n)为方程(1)的解. 于是,方程(1)有n个解(2).
2非齐次方程特解定理的简证
定理2对于常系数线性非齐次微分方程:
L[Y]=n'"'+n一JY'?+…+nJY+a0Y=f()(n?0)(9) 若f()=P()eh(为常数,P()为m次多项式),则方程(9)有特解: Y=xkQ()eh(10)
其中k为特征根的重数(为单根,取k=1;为非特征根,取k:0),q()为m次多项式. 一
般《常微分方程》教材(见[1]),都是考虑:0和?0两种情况,而且对两种情况又细分不是特
征根和重根情况来证明.现给出统一的简单证明.
引理2[】对于方程(9),若y=Zeh(为常数),则
?F'()z',,()e(11)
J=0J'
定理2的证明
设Y:R()eh(R()为待定n次多项式,为k重特征根)为方程(9)的解,则 ?F()R()')_pm(x)(12)i=kj' 由于为方程(9)的k重特征根,若记(:1,2,…,k),则记F()=(—)G(),当J.> k时,函数(—)关于的.
,阶导数为:
[(—)]=0(13)
于是(12)为:
击F()R()):pm()(14)亩()Rn()?()(14
由于F()?0,则
R()=k!P()/F()(15)
求R()的k次积分,得:
():f『...f[!Pm()/()]dzd.d(16) 从而,求得待定多项式R()的一个m+k次多项式:
R()=xkq()(17)
此时,当k=0(即不是特征根),方程(12)左边含多项式最高次数项为: (F()())(F()?0)(18)
从而,由(12)得n=m,并求得待定多项式R()的一个项式m次多项式: R()=q()(19)
于是,定理2获证.
这里不仅给出定理2的简单证法,而且还给出(9)的特解的一种求法.
第25卷第2期赵临龙,等:高阶常系数线性方程解构造定理的简证l5l 例[1求+3"+3x+=(t一5)e的通解.
解由于该方程的特征方程为:
F()=,I3+3,1+3,1+I=(+I)=0
解得:
1=2=,13=一I
于是,设
:R(t)e,=,(At+e,=(At+Bt)e一'
为方程的特解(A,B为待定系数),则(12)为:
:,-5'(F(-1)=-1)=(_1):0)
即4?3?2A+3.21B=t一5
解得A=l/24,B=一5/6.
于是,方程通解为:
=
(詈e_l+(1+t'
此方法较一般方法简单. 显然,
参考文献:
[1]王高雄.常微分方程(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1983 [2]赵临龙.常微分方程研究新论[M].西安:西安地图出版社,2000 责任编校:周伦
TheSimpleProofforSolutionofHigher——OrderLinear DifferentialEquations
ZHA0Lin.1ong,LIQing.guang (1.Departmentofmathematics,AnkangTeachersCollege,Ankang725000,China;
2.XuchangUniversity,Xuchang461000,China)
Abstract:Usinglineartransform,thesimplepro.ffors.luti.n.fhigher.rderlineardifferentiale
quati."w鹊
given.
Keywords:constantcoefficientlineardifferentialequations;solutiontheory;proof
范文五：4-2 -高阶线性方程解一般理论、基本解组
4.1 高阶线性方程一般理论(General Theory of Higher order Linear ODE)
[教学内容] 1. 介绍高阶线性微分方程一般形式; 2.介绍高阶线性微分方程初值问题解的存在唯一性定理; 3. 介绍线性微分方程解的叠加原理（Superposition Theory);4. 介绍高阶线性方程解线性相关和线性无关性概念和判定；5. 介绍高阶线性方程通解结构定理；6. 介绍刘维尔公式及其应用.
[教学重难点] 重点是知道并会运用线性方程的叠加原理、高阶线性方程的通解结构； 难点是如何判定线性方程解线性无关性 [教学方法] 预习1、2；讲授3 [考核目标]
认识高阶线性微分方程一般形式; 2. 知道线性方程解线性无关的概念; 3. 会判定函数和线性方程解的线性无关性;4. 知道齐次线性方程通解结构和非齐次线性方程通解结构. 5. 知道刘维尔公式及其应用.
1. 认识n 阶齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程.
d n x d n -1x dx 称n +a 1(t)n -1+ +a n -1(t)+a n (t)x=0为n 阶齐次线性微分方程; dt dt dt
d n x d n -1x dx 称n +a 1(t)n -1+ +a n -1(t)+a n (t)x=f(t)为n 阶非齐次线性微分方程，其中f(t)dt dt dt
为非零函数.
线性方程柯西问题解的存在唯一性定理：考察上述n 阶非齐次线性微分方程，若
a i (t), f(t), i =1,2, , n 都是[a, b]上连续函数，则对?t 0∈[a,b]和任意n 个实数
d i x
x 0, x 1, , x n -1，方程(**)存在满足初始条件x(t0) =x 0, x(t0) =i
dt
(i)
t =t 0
=x i 的唯一解
x =?(t), t∈[a,b].
声明：以下总假设方程（*）和（**）满足柯西问题解的存在唯一性定理条件.
2. 齐次线性方程(*)解的叠加原理、函数的线性无关性、Wronsky 行列式、方程（*）的通解结构 (证明细节参见教材)
（1）叠加原理：设x 1(t),x 2(t)为齐次线性微分方程（*）的解函数，则
αx1(t), βx2(t), x1(t)+x 2(t), αx1(t)+βx2(t)都是齐次线性微分方程(*)的解.
（2）设x 1(t),x 2(t), , x k (t)都是定义在[a, b]上函数，若存在不全为零的常数c 1, c 2, , c k 使得c 1x 1(t)+c 2x 2(t)+ c k x k (t)=0, t∈[a,b]，则称x 1(t),x 2(t), , x k (t)在区间[a, b]上线性相关，否则则称x 1(t),x 2(t), , x k (t)在区间[a, b]上线性无关.
（3）设x 1(t),x 2(t), , x n (t)都是定义在[a, b]上具有k-1阶连续导函数的函数，则称如下行
x 1(t )
列式W (t ) =W [x , 2(t ) , , x n (t ) ]=1(t ) x
x 2(t ) x 2' (t )
(n-1)
x n (t ) x n ' (t )
(n-1)
x 1' (t ) x 1
(n-1)
为这些函数
(t ) x 2(t ) x n
(t Wronsky 行列式.
（4）函数组线性相关的必要条件：设x 1(t),x 2(t), , x n (t)都是定义在[a, b]上具有k-1阶连续导函数的函数，若它们线性相关，则它们的Wronsky 行列式恒为零.
（5）方程（*）解函数线性无关充要条件：设x 1(t),x 2(t), , x n (t)都是定义在[a, b]上方程（*）的解函数，则它们线性无关?它们的Wronsky 行列式在[a, b]上处处不为零. （6）若n 个函数x 1(t),x 2(t), , x n (t)都是方程（*）的解函数且线性无关，则称其构成了方程（*）的一个基本解组.
（7）齐次线性方程（*）的通解结构定理：设x 1(t),x 2(t), , x n (t)构成了方程（*）的一个基本解组，则方程（*）的任一解?(t)可表为?(t)=定，i =1,2, , n .
（8）由齐次线性方程的叠加原理和通解结构定理知，方程（*）的所有解函数构成了一个n 维的线性空间.
3. 非齐次线性方程的通解结构定理
考察非齐次线性方程（**），设(t ) 为方程（*）的一个特解，x 1(t), x2(t), , xn (t)为方程（*）的一个基本解组，则方程（**）的任一解x (t)可表为x(t)=由初始条件确定.
4. 例题讲解
∑c x (t)，其中常数c
i i
i =1
n
i
由初始条件确
∑c x(t)+(t)，其中c
i
i
i =1
n
i
?t 2, t≥0?0, t≥0
, x2(t)=?2例40. 证明函数组x 1(t)=?在实直线R 上线性无关，但它们的
t , t <0??0,><>
Wronsky 行列式恒等于0，这是否和教材P124定理4矛盾？如果不矛盾，它该例说明了什
么？
解：当t ≥0时，W[x1(t),x 2(t)]=
x 1(t)x 2(t)
x 1' (t)x 2' (t)
==
t 22t
00
=0.
当t <0时，w[x1(t),x 2(t)]="">
x 1(t)x 2(t)
x 1' (t)x 2' (t)
=
0t 202t
=0.
这说明Wronsky 行列式恒等于0. 考察方程c 1x 1(t)+c 2x 2(t)=0, t∈R . 当t ≥0时，上述方程为c 1 t=0，得到c 1=0； 当t <0时，上述方程为c 2="" t="0，得到c" 2="0." 这说明函数组x="" 1(t),="" x2(t)在r="">
这是否和教材P124定理4并不矛盾！原因是定理4中函数组为齐次线性方程的解函数.
例41. 验证x 1=e , x2=e
t
-t 22
为方程x ' ' -x =0的基本解组，并求出满足初始条件
d 2x
x (0)=1, x' (0)=1的特解，其中x' ' =2.
dt
解：直接代入验证知，e -e =0, e -e
t
t
-t
-t
=0，因此，x 1=e t , x2=e -t 为方程的两个解
e t e
t
函数. 下面验证它们是线性无关的. W[x1, x 2]=
t
-t
e -t -e
-t
=-2≠0，因此，由解函数线性
t
-t
无关判定定理知，x 1=e , x2=e 是线性无关的. 因此，证x 1=e , x2=e 为方程
x ' ' -x =0的基本解组. 方程的通解为x =c 1e t +c 2e -t ，c 1, c 2为任意常数.
由初始条件知，x (0)=c 1e +c 2e =c 1+c 2=1，x ' (0)=c 1e -c 2e =c 1-c 2=1，解得
c 1=1, c 2=0，因此所求特解为x =e t .
例42. （1）考察微分方程x ' ' +q(t)x=0. 若?(t),ψ(t)为方程的任意两个解，则它们Wronsky 行列式W[?(t),ψ(t)]≡C （常数）.
d 2x （2）Liouville 公式：考察二阶齐次线性方程x ' ' +a 1(t)x' +a 2(t) x=0，其中x' ' =2,
dt a i (t)∈C[a,b], i =1,2. 假设x 1(t)为方程的一个非零解，则(a)函数x 2(t)为方程的解充要条
件是W ' +a 1(t) W=0, 其中W =W [. (b) 方程的通解为1(x t x ) 2(, t )
x =c 1x 1(t)+c 2x 1(t ) ?
1?t 0-a 1(s)ds
e dt ，其中c 1, c 2为任意常数. 2
x 1(t)
t
（3）已知x =e t 是微分方程x ' ' +q(t)x=0一个特解，试求该方程的通解，并确定函数q(t)？ 证明：（1）记W(t)=W[?(t),ψ(t)]，下证
dW
=0. dt
由行列式定义的函数的导数公式（参见《数学分析》下P124 习题8），我们得到
?dW ' ψ'?ψ
=+=
dt ' ψ'?' ' ψ'' -q(t)?
（2）仿照（1）可证（a ）
ψ-q(t)ψ
=-q(t)
?ψ
=0. 得证. ?ψ
x 1dW x 1' x 2' x 1x 2
=+=
x 1' x 2' x 1' ' x 2' ' -a 1(t)x1' -a 2(t)x1dt
结论成立.
x 2
-a 1(t)x2' -a 2(t)x2
t
=-a 1(t)
x 1x 2
x 1' x 2'
（b ）求解方程W ' +a 1(t) W=0得到，满足W(t0) =1的解W(t)=e
?t 0-a 1(s)ds
.
此时相应的x 2(t)和x 1(t)是线性无关的，它们构成了原齐次线性方程的基本解组，因为它们Wronsky 行列式不为零. 改写W(t)=e
?t 0-a 1(s)ds
t
t
为x 1x 2' -x 1' x 2=e
-
?t 0a 1(s)ds
t
，由x 1(t)≠0再次改写上述方程为
x 1' 1-?t 0a 1(s)ds
x 2' =x 2+e ，这是一个一阶线性方程. 由常数变易公式得到，
x 1x 1x 2=e
?
x 1' (t)
dt x 1(t)
(?e
-
?
x 1' (t)
dt x 1(t)
1-?t 0a 1(s)ds1-?t 0a 1(s)ds
e dt +C) =x 1(?2e +C ) ，特别地，取C=0x 1x 1
t
t t
得到解函数x 2(t)=x 1
t
?
1-?t 0a 1(s)ds
e . 因此，由齐次线性方程通解结构定理知，结论成立. 2x 1
（3）记x 1(t)=e ，由上述公式得到，x 2(t)=e t
t
-t
t
-t
?e
-2t
dt =e -t . 因此，原方程一个基本解
组为e , e ，于是所求通解为x (t)=c 1e +c 2e ，c i , i =1,2为任意常数. 将x 1(t)=e 代入原方程得到，e +p(t)e=0，得到p(t)=-1.
作业41. 证明非齐次线性微分方程的叠加原理：设x 1(t),x 2(t)分别为非齐次线性微分方程
t
t
t
d n x d n -1x d n x d n -1x
+a 1(t)n -1+ +a n (t)x=f 1(t)和n +a 1(t)n -1+ +a n (t)x=f 2(t)的解. dt n dt dt dt
d n x d n -1x
证明：x 1(t)+x 2(t)为方程n +a 1(t)n -1+ +a n (t)x=f 1(t)+f 2(t)的解.
dt dt
作业42. (1) 验证x 1=cos(2t), x2=sin(2t)为方程x ' ' +4 x=0的基本解组. (2) 验证x 1=t cos(2ln t), x2=t sin(2ln t)为方程t x' ' -3 t x' -8 x=0的基本解组. 作业43. 已知x 1=t 为方程x ' ' +
2
2
2
t 1
x ' -x =0的一个非零解，运用Liouville 公式求出1-t 1-t
方程一个基本解组，并求出满足初值条件x (2)=1, x' (2)=2的特解.
d 2x
思考44. （1）考察二阶齐次线性方程x ' ' +a 1(t)x' +a 2(t) x=0，其中x' ' =2,
dt a i (t)∈C(a,b), i =1,2. 设x =?(t)是方程在区间(a, b) 上一个非零解（即x =?(t)在区间(a,
b) 上不恒等于0），试证解函数?(t ) 在区间(a, b) 上只有简单零点（称满足t 0∈(a,b) 且
?(t0) =0, ?' (t0) ≠0的零点为?(t)简单零点）. 并由此进一步证明，?(t ) 在任意有限闭区
间上至多有有限个零点，从而每一个零点都是孤立的.
d 2x （2）考察二阶齐次线性方程x ' ' +a 1(t)x' +a 2(t) x=0，其中x' ' =2,
dt a i (t)∈C(a,b), i =1,2. 若u(t), v(t)为方程的一个基本解组，则方程的系数函数a 1(t), a 2(t)由这个基本解组u(t), v(t)唯一确定且u(t), v(t)没有公共零点.
