范文一:一组平方数规律的探究 探究“数”的规律
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奥数五年级暑假培训
习题解说
开篇 探究数学规律
一、 形与数
1、 三角形数:数一数每个图形中有几个点,,第一个图形一个点,第二个图
形在前面个图形基础上加两个点,第三个图形在前面个图形基础上加3
1
个点,第四个图形在前面个图形基础上加4个点……,因此三角形数的排
列规律:
1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,……(一个三角形数就是从1开始的几个连续
自然数的和)
正方形数:数一数每个图形几个点,第一个图形一个点,第二个图形在前
面个图形基础上加3个点,第三个图形在前面个图形基础上加5个点,第
四个图形在前面个图形基础上加7个点……(或者说第几个图形就是几×
几的一个实心点阵)因此,正方形数的排列规律:
1,1+3,1+3+5,1+3+5+7,……
2
或者 1×1,2×2,3×3,4×4,…(一个正方形数就是一个从1开始的几
个连续奇数的和)…
2、 求第100个三角形数和正方形数各是多少,
实际上是求100个连续的自然数和100个连续的奇数之和。让学生自己研
究求的方法。可介绍等差数列的求和公式。也可以让知道的学生介绍。
3、 三角形数和正方形数的关系:
让学生动手将正方形数的图形分成两个三角形数的图形,例如第3个正方
3表示第三个三角形数,?2表示第二个三角形形数的图形如下图分解(?
3
数):
从而让学生发现:第3个正方形数等于第3个三角形数的与第2个三角形
数的和,第4
个正方形数等于第4个三角形数与第3个三角形数的和……
即两个相邻的三角形数正好组成一个正方形数。如果用T(n)和T(n-1)表示
两个相邻的三角形数,用P(n)表示正方形数,那么他们的关系是:
T(n
)+ T(n-1)= P(n)=n2
4
4、 五边形数如下图:
……
排列规律是:1, 1+4,1+4+7,1+4+7+10……
(一个五边形数,就是从1开始,公差为3的等差数列的和。)
五边形数和三角形数的关系,以第三个图形为例分解:
从中可以看出,第3个五边形数等于第3个三角形数加上第2个三角形数的2 倍,第4个五边形数等于第4个三角形数加上第3个三角形数的2倍……关系式 让学生自行归纳。
二、 数与计数
5
1、求因数个数:示例1: 12=2×2×3=2×3
从2的情况来看,12的因数有1、2、4,从3的情况来看12
的因数有1、3,用树形图可列举出12的因数的所有个数
从质因数3的情况来看
从质因数2的情况来看 12的所有因数 1 2 4 3 6 12
示例2:108=2×2×3×3×3=2×3
从2的情况来看,108的因数有1、2、4,从3的情况来看,
108的因数有1、3,9,27 从质因数2的情况来看 1 2 4
从质因数3的情况来看 1 3 9 27 1 3 9 27 1 3 9 27 108的所有因数
1 3 9 27 2 6 18 54 4 12 36 108
6
2、求和:12的所有因数的和:1个1、2、4,加上3个1、2、4
所以12的所有因数和=(1+3)×(1+2+4)
108的所有因数的和:1个1、3、9、27,加上2个1、3、9、27,再加上4个1、3、9、27,即(1+2+4)×(1+3+9+27)
2、归纳:任意一个自然数因数的个数等于这个自然数的质因数出现次数加1相乘的积。
N=a×a…×a×b×b…×b×c×c…c×……(a、b、c均为质数)
i个a j个b k个c
所有因数个数为(i+1)×(j+1)×(k+1)
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7
8
范文二:尾数的规律与平方数
1、230的尾数?是几,
30?4=7??2 尾数是4
的末位数06?2、200620?字是几,
尾数是6
3、7887与8?778的和的?尾数是几,
87?4=21??3 7887尾数?是2,78?4=19??2 8778尾数?是9,2,9=11,尾数是1
160914、人们用电子计?算机找到的最?大质数是22,?1,它的尾数是几?,
216091??4=50022??3 尾数是8,8,1=7
5、46305乘?一个自然数A?,积是一个完全?平方数,则最小的A是?多少,
33 46305=3×5×7 最小的A=3×5×7=105
6、祖孙三人,孙子与爷爷的?年龄之积是1?512,而爷爷,父亲,孙子三人年龄?之积是完全平?方数,父亲的年龄是?多少,
33 1512=2×3×7 父亲的年龄是?:2×3×7=42岁
7、若(1×2×3×?×N),3是一个完全?平方数,则N是多少,
N=3
8、777777?×888888?×999999?的尾数是几,
777?4=194??1 777777?尾数是7,888?4=222 888888?尾数是6,999?2=499??1 999999?尾数是9,7×6×9=378,777777?×888888?×999999?的尾数是8
1239、乘积7×7×7×?×710的个位?数字是几,
12310557×7×7×?×7=7,55?4=13??3 755个位数?字是3
10101010101010101010、1,2,3,4,5,6,7,8,9,1010的个?位数字是几,
1,4,9,6,5,6,9,4,1,0=45,个位数字是5?
11、把一个两位数的个位数字与??十位数字交换?后得到一个新?数,它与原来的数?加起来恰好是?某个自然数的?平方,这个和数是多?少,
11×11=121
12、已知一个自然?数的平方的十?位数字是8,这个完全平方?数的个位数字?是几,
1,4,9
分析与解答:
一个整数的完?全平方数的末?两位数字只能?由这个整数的?末两位数字所?决定。 我们设这个自?然数N的末两?位数字为10?a+b,那么
(10a+b)^2=100a^2+20a+b^2=100a^2+2ab×10+b^2
因为2ab是?偶数,8也是偶数,那么b^2要么不进位?,要么进位为偶?数。 如果不进位,那么只能是b?^2=0,1,4,9,
如果进位那么?只能是b^2=25,49,64,81。
我们又知道如?果一个完全平?方数的末尾是?0,那么必须是成?对出现(偶数个),所以0可以排?除;如果末尾是5?,那么十位必须?是2,所以5也可以?排除。 所以一个自然?数的平方的十?位数是8,这个完全平方?数的个位数字?是:1,4,9。 比如:9^2=81;22^2=484;33^2=1089。
13、如果一个自然?数能表示成两?个自然数的平?方差,则把这个自然?数称之为
22“智慧数”。如16=5,3,16称为“智慧数”。请确认:在自然数列中?,从1数起,第2006个?智慧数是哪个?数,
分析:要确定第20?06个智慧数?,应该先找到智?慧数的分布规?律。
自然数列中最?小的智慧数是?3,第2个智慧数?是5,从5起,依次是(5,7,8);( 9, 11, 12); (13, 15, 16); (17, 19, 20)?? 即按2个奇数?,一个4的倍数?,三个一组地依?次排列下去。根据这个结论?,我们容易知道?:因为 2006 = 1+3*668 +1,所以第200?6个智慧数是? 4*668+5=2677。
14、两位数AB减?去两位数BA?的差为某自然?数的平方,这样的两位数?共有多少个,
21,32,43,54,65,76,87,98共有8个?
2006个2?006
???15、如果把200?6连写200?6次,就得到 N = 200620?06??2006,那么,N被11除所?得商的个位数?字是几,
奇数位和,偶数位和=(6,2)×2006=8024 8024?11=729??5 商的
个位数字?是1
16、由非零的偶数?码组成一个四?位数,它又恰是由偶?数码组成的完?全平方数,那么这个四位?数是多少,
68×68=4624
17、设ABCD是?四位数,已知A、BCD、ABCD都是?完全平方数,符合条件的所?有四位数有哪?些,
1225,4225
18、从1986,1989,1992,1995,1998这五?个数中挑出不?能写成两个自?然数的平方差?的数是多少,
1986=2×993 1989=9×991 1992=2×996 1995=5×399
1998=2×999
1986和1?998不能写?成两个自然数?的平方差
19、一个两位数的?立方是一个五?位数,组成这个五位?数的数字与原?两位数的数字?都不相同,求原来的两位?数。
22×22×22=10648 27×27×27=19683
20、一个小于40?0的三位数,它是一个完全?平方数。它的前两位数?字组成的两位?数是一个完全?平方数,它的个位数也?是完全平方数?。这样的三位数?有哪些,
361,169
21、如果一个两位?数与它的反序?数的和是一个?完全平方数,则称它为“灵巧数”。试找出所有的?“灵巧数”。
29,92、38,83、47,74、56,65.
22、甲、乙、丙、丁均买了奖券?,他们中只有一?个人中奖,而中奖号码的?最后四位数字?组成的四位数(不变顺序)恰是完全平方??数,已知甲的奖券?从右数第一个?数字是8,第四个数字是?1;乙的奖券从右?数第一个数字?是5,第二个数字是?4;丙的奖券从右?数第一个数字?是1,第三个数字是?4,第四个数字是?3;丁的奖券从右?数第一个数字?是0,第二个数字是?4,则中奖号码的?后四位数字组?成的四位数(不变顺序)是多少,
3481
23、两人共买N只?皮球,每只皮球N元?。付款时,甲先付10元?,乙再付10元?,照此轮流下去?,当最后余下的?所要付的钱不?足十元时,轮到乙付。当所有的款全?部付完时,乙再付多少钱?给甲,才能使两人所?付的钱同样多?,
范文三:尾数的规律与平方数[终稿]
301、2的尾数是几,
30?4=7??2 尾数是4
20062、2006的末位数字是几,
尾数是6
87783、78与87的和的尾数是几,
877887?4=21??3 78尾数是2,78?4=19??2 87尾数是9,2,9=11,尾数是1
2160914、人们用电子计算机找到的最大质数是2,1,它的尾数是几,
216091?4=50022??3 尾数是8,8,1=7 5、46305乘一个自然数A,积是一个完全平方数,则最小的A是多少,
33 46305=3×5×7 最小的A=3×5×7=105 6、祖孙三人,孙子与爷爷的年龄之积是1512,而爷爷,父亲,孙子三人年龄之积是完全平方数,父亲的年龄是多少,
33 1512=2×3×7 父亲的年龄是:2×3×7=42岁 7、若(1×2×3×?×N),3是一个完全平方数,则N是多少,
N=3
7778889998、777×888×999的尾数是几,
777888777?4=194??1 777尾数是7,888?4=222 888尾数是6,
999777888999999?2=499??1 999尾数是9,7×6×9=378,777×888×999的尾数是8
123109、乘积7×7×7×?×7的个位数字是几,
1231055557×7×7×?×7=7,55?4=13??3 7个位数字是3
1010101010101010101010、1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的个位数字是几,
1,4,9,6,5,6,9,4,1,0=45,个位数字是5 11、把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方,这个和数是多少, 11×11=121
12、已知一个自然数的平方的十位数字是8,这个完全平方数的个位数字是几,
1,4,9
分析与解答:
一个整数的完全平方数的末两位数字只能由这个整数的末两位数字所决定。
我们设这个自然数N的末两位数字为10a+b,那么 (10a+b)^2=100a^2+20a+b^2=100a^2+2ab×10+b^2 因为2ab是偶数,8也是偶数,那么b^2要么不进位,要么进位为偶数。
如果不进位,那么只能是b^2=0,1,4,9, 如果进位那么只能是b^2=25,49,64,81。 我们又知道如果一个完全平方数的末尾是0,那么必须是成对出现(偶数个),所以0可以排除;如果末尾是5,那么十位必须是2,所以5也可以排除。
所以一个自然数的平方的十位数是8,这个完全平方数的个位数字是:1,4,9。
比如:9^2=81;22^2=484;33^2=1089。
13、如果一个自然数能表示成两个自然数的平方差,则把这个自然数称之为
22“智慧数”。如16=5,3,16称为“智慧数”。请确认:在自然数列中,从1数起,第2006个智慧数是哪个数,
分析:要确定第2006个智慧数,应该先找到智慧数的分布规律。
自然数列中最小的智慧数是3,第2个智慧数是5,从5起,依次是(5,7,8);( 9, 11, 12); (13, 15, 16); (17, 19, 20)?? 即按2个奇数,一个4的倍数,三个一组地依次排列下去。根据这个结论,我们容易知道:因为 2006 = 1+3*668 +1,所以第2006个智慧数是 4*668+5=2677。
14、两位数AB减去两位数BA的差为某自然数的平方,这样的两位数共有多少个,
21,32,43,54,65,76,87,98共有8个 2006个2006
???15、如果把2006连写2006次,就得到 N = 20062006??2006,那么,N被11除所得商的个位数字是几,
奇数位和,偶数位和=(6,2)×2006=8024 8024?11=729??5 商的
个位数字是1
16、由非零的偶数码组成一个四位数,它又恰是由偶数码组成的完全平方数,那么这个四位数是多少,
68×68=4624
17、设ABCD是四位数,已知A、BCD、ABCD都是完全平方数,符合条件的所有四位数有哪些,
1225,4225
18、从1986,1989,1992,1995,1998这五个数中挑出不能写成两个自然数的平方差的数是多少,
1986=2×993 1989=9×991 1992=2×996 1995=5×399
1998=2×999
1986和1998不能写成两个自然数的平方差
19、一个两位数的立方是一个五位数,组成这个五位数的数字与原两位数的数字都不相同,求原来的两位数。
22×22×22=10648 27×27×27=19683
20、一个小于400的三位数,它是一个完全平方数。它的前两位数字组成的两位数是一个完全平方数,它的个位数也是完全平方数。这样的三位数有哪些,
361,169
21、如果一个两位数与它的反序数的和是一个完全平方数,则称它为“灵巧数”。试找出所有的“灵巧数”。
29,92、38,83、47,74、56,65.
22、甲、乙、丙、丁均买了奖券,他们中只有一个人中奖,而中奖号码的最后四位数字组成的四位数(不变顺序)恰是完全平方数,已知甲的奖券从右数第一个数字是8,第四个数字是1;乙的奖券从右数第一个数字是5,第二个数字是4;丙的奖券从右数第一个数字是1,第三个数字是4,第四个数字是3;丁的奖券从右数第一个数字是0,第二个数字是4,则中奖号码的后四位数字组成的四位数(不变顺序)是多少,
3481
23、两人共买N只皮球,每只皮球N元。付款时,甲先付10元,乙再付10元,照此轮流下去,当最后余下的所要付的钱不足十元时,轮到乙付。当所有的
款全部付完时,乙再付多少钱给甲,才能使两人所付的钱同样多,
范文四:平方数的规律及100以内的平方表
(1)完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9.(没有2,3,7,8) 两个整数的个位数字之和为10,则它们的平方数的个位数字相同.
(2)奇数的平方的个位数字是奇数,十位数字是偶数.
(3)如果完全平方数的十位数字是奇数, 则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数.
(4)偶数的平方是4的倍数; 奇数的平方是4的倍数加1. (5)奇数的平方是8n+1型; 偶数的平方为8n 或8n+4型. (6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1.
(7) 不能被5整除的数的平方为5n ±1型, 能被5整除的数的平方为5n 型. (8)平方数的形式具有下列形式16n,16n+1,16n+4,16n+9.
(9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是0,1,3,4,6,7,9.(没有2,5,8) (10)如果质数p 能整除a, 但p 的平方不能整除a, 则a 不是完全平方数. (11)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数.
(12)一个正整数n 是完全平方数的充分必要条件是n 有奇数个因数(包括1和n).
一个数如果是另一个整数的完全立方(即一个整数的三次方, 或整数乘以它本身乘以它本身), 那么我们就称这个数为完全立方数, 也叫做立方数,如0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000等.
如果正整数x,y,z 满足不定方程x 2+y2=z2 ,就称x,y,z 为一组勾股数.
x,y 必然是一个为奇数另一个为偶数,不可能同时为奇数或同时为偶数.z 和z 2必定都是奇数.
五组常见的勾股数:
32+42=52;52+122=132;72+242=252;82+152=172;202+212=292
9+16=25;25+144=169;49+576=625; 64+225=289; 400+441=841
记忆技巧:
(a+b)2= a2 + b 2+ 2ab (a-b) 2=a2 + b 2 -2ab | | | | | | a×a b×b 2×a×b a×a b×b 2×a×b 例:132=(10+3)2=102+32+2×10×3=100+9+60=169
882=(90-2)2=902+22-2×90×2=8100+4-360=7744 用处:
①训练计算能力,使计算更快更准确; ②估计某数的平方根所处的范围,在判定某个较大的数n 是不是质数时可以缩小其可能因子的筛选范围, 只需检查3到 之间的所有质数是不是n 的因子即可,超过的都不必检查了. 例如,判定2431是否为质数,因为492=2401<><2500=502,>2500=502,><50 ,2+4+3+1="10不能被3整除," 2341的个位既非0又非5,="" 故只需检查7到47之间的所有质数能否整除2431即可,而53,59,61,67……等更大的质数都不用检查了,实际上2431="">50>
③增加对数字的熟悉程度,比如162=256=28,322=1024=210, 642=4096=212, 另外一些特殊结构的数字应该牢记,如882=7744, 112=121,222=484,(121和484从左到右与从右到左看是一样的) 122=144,212=441,132=169,312=961,(a左右颠倒后a 2也左右颠倒).
范文五:平方数的规律及100以内的平方表
平方数的规律及100以内的整数平方表
2222211=121 12=144 13=169 14=196 15=225
2222216=256 17=289 18=324 19=361 20=400
2222221=441 22=484 23=529 24=576 25=625
2222226=676 27=729 28=784 29=841 30=900
2222231=961 32=1024 33=1089 34=1156 35=1225
2222236=1296 37=1369 38=1444 39=1521 40=1600
2222241=1681 42=1764 43=1849 44=1936 45=2025
2222246=2116 47=2209 48=2304 49=2401 50=2500
2222251=2601 52=2704 53=2809 54=2916 55=3025
2222256=3136 57=3249 58=3364 59=3481 60=3600
2222261=3721 62=3844 63=3969 64=4096 65=4225
2222266=4356 67=4489 68=4624 69=4761 70=4900
2222271=5041 72=5184 73=5329 74=5476 75=5625
2222276=5776 77=5929 78=6084 79=6241 80=6400
2222281=6561 82=6724 83=6889 84=7056 85=7225
2222286=7396 87=7569 88=7744 89=7921 90=8100
2222291=8281 92=8464 93=8649 94=8836 95=9025
2222296=9216 97=9409 98=9604 99=9801 100=10000 规律:
(1)完全平方数的个位数字只能是0,1,4,5,6,9.(没有2,3,7,8)两个整数的个位数字之和为10,则它们的平方数的个位数字相同.
(2)奇数的平方的个位数字是奇数,十位数字是偶数.
(3)如果完全平方数的十位数字是奇数,则它的个位数字一定是6;反之,如果完全平方数的个位数字是6,则它的十位数字一定是奇数.
(4)偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1.
(5)奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型.
(6)完全平方数的形式必为下列两种之一:3n,3n+1. (7)不能被5整除的数的平方为5n?1型,能被5整除的数的平方为5n型. (8)平方数的形式具有下列形式16n,16n+1,16n+4,16n+9. (9)完全平方数的各位数字之和的个位数字只能是0,1,3,4,6,7,9.(没有2,5,8) (10)如果质数p能整除a,但p的平方不能整除a,则a不是完全平方数. (11)在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数. (12)一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数(包括1和n).
一个数如果是另一个整数的完全立方(即一个整数的三次方,或整数乘以它本身乘以它本身),那么我们就称这个数为完全立方数,也叫做立方数,如0,1,8,27,64,125,216,343,512,729,1000等.
222如果正整数x,y,z满足不定方程x+y=z ,就称x,y,z为一组勾股数.
2x,y必然是一个为奇数另一个为偶数,不可能同时为奇数或同时为偶数.z和z必定都是奇数.
五组常见的勾股数:
2222222222222223+4=5 ;5+12=13 ;7+24=25 ;8+15=17 ;20+21=29 9+16=25;25+144=169;49+576=625; 64+225=289; 400+441=841
记忆技巧:
22222 2 (a+b)= a + b + 2ab (a,b)=a+ b,2ab
| | | | | |
a×a b×b 2×a×b a×a b×b 2×a×b
2222例:13=(10+3)=10+3+2×10×3=100+9+60=169
2222 88=(90-2)=90+2,2×90×2=8100+4,360=7744
用处:
?训练计算能力,使计算更快更准确;
?估计某数的平方根所处的范围,在判定某个较大的数n是不是质数时可以缩小其可能因子的筛选范围,只需检查3到, 之间的所有质数是不是n的因子即可,,
超过,的都不必检查了.例如,判定2431是否为质数,因为,
2249=2401<><><><50 ,2+4+3+1="10不能被3整除,">50>
个位既非0又非5,故只需检查7到47之间的所有质数能否整除2431即可,而53,59,61,67……等更大的质数都不用检查了,实际上2431=11,,,,17.
28210?增加对数字的熟悉程度,比如16=256=2 ,32=1024=2 ,
212264=4096=2 ,另外一些特殊结构的数字应该牢记,如88=7744,
2211=121,22=484,(121和484从左到右与从右到左看是一样的)
2222212=144,21=441,13=169,31=961,(a左右颠倒后a也左右颠倒).
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