范文一:等腰三角形顶点位置的确定
等腰三角形顶点位置的确定
第 御
初中数学教与学
专题研究。
等腰三角形顶点位置的确定
周 杨
江苏省连云港市新坝中学,
一
、基本模型及其解析 以如下确定:以点 为圆心, 长为半径作 基本模型 如图 ,已知平面内的两点 圆,与直线 的交点即为所求 点.显然,
由线
、 及直线 ,在直线 上取一点 使得 段 的长度以及 点到直线 的距离决
定了
是等腰三角形. 这样的 点可能有两个、一个或者没有。 ?当 点为等腰三角形顶角顶点时, 点
的探求方法与情形?类似.
综上所述,已知等腰三角形两个顶点,在
另外一条直线上寻求一点 ,使得 是等腰三角形,这样的 点最多可能有 个.
二、应用实例
图 图
例 包头中考 已知直线 一
解析 笔者在教学中发现,学生在解决 与 轴、 轴分别交于 、 两点,抛物线这个问题的时候,通常是以边作为分类依据:一? 经过点 , ,点曰是抛物线
二
在 中,如果 是底边,那么 点会在什
与 轴的另一个交点.
么位置;如果 是腰,那么 点又可能在什么 求这条抛物线的解析式及点曰的坐
位置.这样的分类,具有一定的可行性,但是
标;
容易出现遗漏,特别是在 为腰的情况下,思 设点 是直线 上一点,且 加 :
维很容易出现交叉与混乱.: ,求点 的坐标;
笔者认为,这个问题如果以等腰三角形 如果点, 在这条抛物线上,在
顶角顶点作为分类依据的话,就很容易准确
轴的正半轴上是否存在点 ,使 为等腰
而有条理的确定 点的位置.具体如下 如图
三角形 若存在,请求出点 的坐标;若不存:
在,请说明理由.
?当 点为等腰三角形顶角顶点时,那
么线段 为等腰三角形的底边, 点在底边的中垂线上.于是可以这样确定 点位置:
作线段 的中垂线与直线 的交点,即为所 :求的 点.
?当 点为等腰三角形顶角顶点时,那\ 么线段 与线段 皆为等腰三角形的腰,即 /.换言之, 点到 点的距离应当等于 图线段 长,那么 点一定在以点 为圆心,长为半径的圆周上.根据这一点,
此时 点可初中数学教与学 釜
与 轴有两个交点,且分别位于正半轴与与负 解 一? , , ;
二
半轴上.设 ,是图中 与 轴正半轴的一个 交点,连结,则, 巾,
一?,,一,一;
根据勾股定理,求得 ,则, 为所易得直线 的解析式为 一求 点.
.过 点向 轴作垂线段,垂足为日,则日点坐 ?设 与 轴另 一交点为 ,由?中 标为 , ,可求得 : .
所述知, 不符合题意.
如图 所示,分别以 、 为圆心以 长 由??可知, 两种情形中有一
为半径作 、 ;作线段 的中垂线,则有 个符合题意.
种情形需要研究.
?如图 ,若 为等腰三角形顶角顶
点,则 在线段 的中垂线上.设线段 的
中点为 , 的中垂线? 与 轴交于 点,与 轴交于 点,则 点坐标为 , .
易证?一/ ,/\ : 则,
解得 ,
而 ,所以 点坐标为 一 , .
由? , 、 一 , 可以求得直线的解析式为 ? ?. 该直线与 轴交点坐标为 , ,即图
,?亦为所求 点.
?若 点为等腰三角形顶角的顶点,即
综上所述,在 轴正半轴上能与曰、 两点, 点应当在 上.如图 ,设直 构成等腰三角形的点 有两个,分别是 ,
线 与 轴交点为 ,可以求得 坐标为 ,
, , ..设日是 中点,可知 // 轴,则 是的中点,即 ,由此可见 点即图 评
析 本题的解答过程中,我们首先按
照一般方法考虑所有可能存在的情形.在此
中的 点,则图中的 因为与 在同一直
基础上,解答过程中要注意题目的具体要求.
线上而不符合题意.比如,本题要求“在 轴的正半轴上”,那么,一 ?连结 ,则? ,则图
二
般情形中就可能存在一种或者几种不符合要
中 与 轴的另一个交点恰好为坐标原点
求.除此以外,还要考虑这些点是否处在特殊
,不在 轴正半轴,不符合题意.
位置.比如,本题中的 .点,虽然满足
由??可知, 两种情形皆不符这个条件,但是它恰好与 、 两点在同一 合题意.
条直线上.
?若日为等腰三角形顶角顶点,即
例 湘潭中考 如图 ,直线 , 点应当在。 上,如图 .易求线段 交 轴于 点,
交 轴于 点,过 、 两的长度为,而 ,所以点的抛物线交 轴于另一点, . ..
范文二:等腰三角形的性质(一)
一、教学目的
使学生掌握等腰三角形性质定理(包括推论)及其证明.
二、教学重点、难点
重点:等腰三角形的性质.
难点:文字命题的证明.
三、教学过程
复习提问
什么叫做等腰三角形?什么是等腰三角形的腰、底边、顶点和底角?
引入新课
教师演示事先备好的等腰三角形纸片对折,使两腰叠在一起,发现它的两底角重合,从而得到等腰三角形两底角相等的命题,当然此命题的真实性还需推理论证.
新课
1.等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等(简写成“等边对等角”).
让学生回忆前面学过的文字命题证明的全过程.引导学生写出已知、求证,并且都要结合图形使之具体化.
2.推论1 等腰三角形顶角平分线平分底边且垂直于底边.
从性质定理的证明过程可以知道(如图1)BD=DC,∠ADB=∠ADC,所以AD平分BC,且AD⊥BC,即得推论.
从推论1 可以知道,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
推论2 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°.
3.等腰三角形性质的应用.等腰三角形的性质有着重要的应用,一般说,利用“等腰三角形两底角相等”的性质证明两角相等;利用“等腰三角形底边上的三条主要线段重合”的性质,来证明两条线段相等、两个角相等及两条直线互相垂直;利用“等边三角形各角相等,并且每一个角都等于60°”的性质,来证明一个角是60°,或作图中通过作等边三角形,作出一个60°的角.
例1 已知:如图2,房屋的顶角∠BAC=100°,过屋顶A的立柱AD⊥BC、屋椽AB=AC.求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数.
这是一道几何计算题,要使学生熟悉解计算题的步骤,引导学生写出解题过程.
小结
1.叙述等腰三角形的性质(本堂所讲定理及推论)及其应用.
2.等腰三角形顶角与底角之间的常用关系式:在△ABC中,AB=AC,则
(1)∠A=180°-2∠B=180°-2∠C;
3.已知等腰三角形一个角的度数,求其它两个角的度数:(1)若已知角是钝角或直角,则此角一定为顶角,于是由2中(2)可求出两底角;(2)若已知角是锐角,则此角可能是顶角,也可能是底角.若为前者,可按2中(2)求出两底角.若为后者,则可按2中(1)求出顶角.
练习:略
作业?:略
四、教学注意问题
1.等腰三角形的性质在今后解(证)几何题中有着重要的应用,务必引起学生重视.且应反复练习.
2.几何计算题的一般解题步骤.
范文三:等腰三角形的分类讨论
等腰三角形的分类讨论 圈?圈?费嚣
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鞭分析
:等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,没有指明哪个是腰 长,哪个是底边的长,因此要分类讨论.
当5是等腰三角形的腰长时,那么底边长就是6,则它的周长等于16; 当6是等腰三角形的腰长时,那么底边长就是5,则它的周长等于17. 这个等腰三角形的周长等于16或17.
评点:对于底和腰不等的等腰三角形,若条件中没有明确底和腰时. 应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.
三,遇中线需讨论
例3若等腰三角形一腰上的
中线分周长为9cm和12era两部分,
求这个等疆三角形的底和腰的长.
分析:如图1,由于中线分周长
为两部分,并没有指明哪一部分是
9cm,哪一部分是12cm,因此,应有
两种情形.设这个等腰三角形的
腰长为x(~nl,底边长为yem.
根据题意,得
解之,得(:或Ifx-----58. ,
当腰-K是6cm~J",底边长是9cm; 当腰-K是8cm时,底边长是5cm. BC
图1
什
丢=12,
1.
ny'
评点:求出来的-K不一定能构成三角形,三条边应满足三角形三边?
关系定理?一
例4等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45.,求顶角.穗
分析:依题意可画出如图2和图3所示的两种情形,显然,易求得图2穗
中顶角为45.和图3中的顶角为135.?? 凼?
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图2
C
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D
图3
C
评点:三角形的高是由三角形的形状所决定.对于等腰三角形,当顶 角是锐角时,腰上的高在三角形内部,当顶角是钝角时,腰上的高在三角 形外部.
五,遇中垂线需讨论
例5在AABC中,AB=AC,AB的中垂线与AC所在直线相交所得的 锐角为50.,则底角曰=一
分析:按照题意我们可画出示意图,如图7和图8所示. 图4图5
C
如图4,当交点在腰AC上时,AABC是锐角三角形,此时可求得A= 1
40.,LB=Lc=?(180040.)=70.;厶
如图5,当交点在腰CA的延长线上时,AABC为钝角三角形,此时可 1
求得LBAC=140.,LB=Lc=?(1800140.)=20..厶
这个等腰三角形的底角为70.或20..
评点:图5最容易漏掉,求解时一定要认真分析题意,画出可能的所 有图形,才能正确解题.臣琵目
曩??
??攀霹??霪曩??曩??曩????
范文四:动点产生的等腰三角形
新尚教育学科教师辅导讲义 讲义编号
学员日校: 年 级: 课时数:
学员姓名: 辅导科目: 数学 学科 学科组长签名 组长备注
课 题 因动点而产生的等腰三角形
授课时间: 备课时间:
教学目标 1.图形的变化过程中,可以构成等腰三角形的点的存在性问题
1、动点坐标的设置
2(等腰三角形分类讨论
重点、难点 3..坐标系中三角形边长的表示
4.动点移动的路程
5.与基础三角形相似的三角形
1、动点坐标的设置
2(等腰三角形分类讨论
考点及考试要求 3..坐标系中三角形边长的表示
4.动点移动的路程
5.与基础三角形相似的三角形
教学内容
(第一环节:上次课测试评讲及复习巩固)
【知识点讲解】
1.怎样设动点坐标
(1)若动点在x轴上,因为横坐标x在变化,纵坐标y没有变化,始终等于0,所以可设动点的坐标为(x,0)
若动点在y轴上,横坐标x没有变化,始终等于0,纵坐标y在变化,所以可设动点坐标为(0,y)
3fxfxy,(2)若动点在函数上,则横坐标设为x,纵坐标设为,例如,点A在反比例函数的图象上,设,,,,x
3331,,Axy,y,yx,,2Ax,,因为,所以用来代替y,这种情况一般就直接设;又如,点B在一次函数上,,,,,xx2x,,
1,,直接设 Bxx,2,,,2,,
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2.等腰三角形要分类讨论
如图1-1,一个三角形为等腰三角形时,存在三种情况:AB=AC;AB=BC;BC=AC
3.坐标系中三角形边长的表示
xy,Bxy,如图1-2,若三角形AOB的三个顶点在平面直角坐标系中,设A,,则A,B两点的距离公式为; ,,,,1122
222222xxyy,,,AB=,用同样的方法,把其他两条边的距离也写出来,OA=xy,,OB=xy,,若需说明,,,,12121122AOB为等腰三角形,则按照图1-1的方法,让三角形两两相等,解方程
4.动点的移动路程
如图1-8,点P由点C向点A移动,速度是每秒1cm,设运动的时间为t秒,则路程CP=速度×时间=1×t=t;点Q
由点B向点C移动,速度是每秒2cm,设运动的时间为t秒,则路程BQ=2×t=2t 点的运动,是中考常见题型,需熟练掌握
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5.学了相似三角形以后,通过作等腰三角形底边上的高,构造一个与基础三角形相似的三角形,通过相似比,探求点的存在性
12如图1-13,已知为等腰三角形且PQ=PR,AB=5,AH=4,,PQ=,求RQ,而RQ没有其他条件求不出PRQ,,,BPQR5
x来。我们可以作底边上的高PG,利用等腰三角形三线合一的性质,得到PG平分QR,令QR=x,所以QG=,从已知2
12x
PQQG52不难得到与RtBAH相似,利用相似比,得到解出x ,RtQPG,ABBH53
【经典例题与解题技巧】
82,mn,2y,例1:如图1-3,在直角坐标系XOY中,反比例函数的图象上的点A,B的坐标分别是,,点C,,,,x
ABC在x轴上,且为等腰三角形,求点C的坐标
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Am,2例2:如图1-7,点是正比例函数和反比例函数的交点,轴于点B,OB=2AB, ABy,,,
(1)求正比例函数和反比例函数的解析式
(2)求正比例函数和反比例函数的另一个交点C的坐标
(3)在y轴上是否存在一点D,使ACD为等腰三角形,若存在,请求出点D的坐标,若不存在,请说明理由
O,C例3:如图1-9,在直角梯形ABCD中,AD//BC,=,BC=12,AD=18,AB=10.动点P,Q分别从点D,B同时出发,90
动点P,沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动,动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度向点C运动,
AEP当点Q运动到点C时,点P随之停止运动,设运动的时间为t秒,射线PQ与射线AB相交于点E,能否为等腰三角形,如果能,求出t的值,如果不能,说明理由
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例4:如图1-14,在中,AB=AC=5,BC=6,D,E分别是边AB,AC上的两个动点,(D不与A,B重合),且保持DE//BC,ABC
以DE为边,在点A的同侧作正方形DEFG。设AD=X,当是等腰三角形时,求AD BGD
例5:如图1-18在直角三角形ABC中,直角边AC=6cm,BC=8cm,设P,Q分别为AB,BC上的动点,点P自点A沿AB方向向点B作匀速移动且速度为每秒2cm,同时点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动,且速度为每秒1cm,当点P到达点B式,Q点就停止移动,设P,Q移动的时间为t秒,当t为何值,为等腰三角形 PBQ
2例6如图1-22所示,已知抛物线yxxm,,,,,21与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,其中点C的坐标是(0,3),顶点为点D,连接CD,抛物线的对称轴与x轴相交于点E, (1)求m的值
PDC(2)在抛物线对称轴的右侧部分上是否存在一点P,使得是等腰三角形,如果存在,求出符合条件的点P的坐标,如果不存在,请说明理由
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【课堂练习】
1.如图,反比例函数经过点A(-2,3)
(1)求这个反比例函数的解析式
(2)在x轴上是否存在点B,使AOB为等腰三角形,如果存在,求出点B的坐标,如果不存在,请说明理由
2.直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,P是直线AB上的一个动点,如果POA是等腰三角形,求点Pyx,,,2
的坐标
1yx,,,13.如图,已知一次函数的图象与x轴,y轴分别相交于点A,B 2
(1)求A,B的坐标
1yx,,,1AOC(2)如果点C在一次函数的图象上,并且是等腰三角形,求出满足条件的所有点C的坐标 2
2ABPyxx,,,224.已知解析式的抛物线顶点为P点A的坐标为(-1,-1),点B的坐标为(1,m),且m<3,若是等腰三角形,求点b的坐标>3,若是等腰三角形,求点b的坐标>
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125.如图,已知抛物线与y轴的交点为c,与x轴交于点A,B,平行于x轴的动直线l与该抛物线yxx,,,,42
交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0)问:是否存在这样的直线l,使得是等腰三角形,存在,ODC求P坐标,不存在,说明理由
06.如图在直角梯形ABCD中,AD//BC,,BC=16,DC=12,AD=21,动点P从点D出发,沿射线DA的方向以每,,C90
秒2单位的速度移动,动点Q从C出发,在线段CB上以每秒1单位速度向B移动,点P,Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到B时,点P随之停止运动,设运动的时间为t秒,当t=,时,以BPQ为顶点的三角形是等腰三角形
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【课后作业】
1.在直角坐标系中,O为原点,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,4),直线CM//X轴(如图),点B与点A关于原点对称,直线(b为常数)经过点B,且与直线CM相交于点D,连接OD yxb,,
(1)求b的值和点D的坐标
(2)设P在x轴的正半轴上,若POD是等腰三角形,求P坐标
(3)在(2)的条件下,如果以PD为半径的园与圆O外切,求O的半径
02.如图1,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,E是AB的中点,过点E作EF//BC交CD于点F,AB=4,BC=6,, ,,B60(1)求点E到BC得距离
PMEF,(2)点P为线段EF上的一个动点,过P作交BC于点M,过M作MN//AB交折线ADC与点N,连结PN,设EP=X
PMNPMN1)当N在线段AD上时,如图2,的形状是否变化,如果不变,求出的周长,若改变,请说明理由
PMN2)当N在线段DC上时,如图3,是否存在点P,使为等腰三角形,若存在,求出x,不存在,说明理由
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范文五:等腰三角形的作图方法
1.使学生掌握等腰三角形的常见作法。
2.能根据根据已知做出符合条件的所有等腰三角形。
过程方法:
1.在实际操作中发展学生的形象思维和空间观念。
2.提高学生运用等腰三角形作图的基本技能解决有关问题的能力。
3.为了能更好地培养学生思维的严密性、全面性,向学生渗透分类思想,提高学生综
合应用能力,有效解决等腰三角形的问题。
情感态度:
1.通过尝试探究等腰三角形的作法,培养学生自主探究、合作交流的意识。
2.向学生渗透分类思想、培养学生的创新意识及分析问题、解决问题的能力,让学生
感受数学的奇妙,激发学生的学习兴趣。
教学过程4
活动一:
问题1:
已知等腰三角形两边长分别为8和6,则三角形的周长为 22或20 。
问题2:
你会画等腰三角形吗?请作一个等腰三角形,作完后与小组成员交流你的作法。
开动脑筋想一想
问题1:
如果已知等腰三角形底边长为a,底边上的高为h,作一等腰三角形,怎样做?
问题2:
若已知等腰三角形的两边长分别为a,b,作一等腰三角形,怎样做?
问题3:三个角都是60°的三角形是等边三角形吗?你能说明理由吗? 等腰直角三角形:顶角是直角的等腰三角形是等腰直角三角形。
问题4:你能说出等腰直角三角形各角的大小吗?
问题5:请你画一个等腰直角三角形,使∠C=90°,CD是底边上的高,数一数图中共有几个等腰直角三角形?
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