范文一:2004年考研数学二真题
2004年考研数学(二)真题 一. 填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上. )
(1)nx,(1)设, 则的间断点为 . fx()x,fx()lim,2n,,nx,1
3,xtt,,,31,(2)设函数由参数方程 确定, 则曲线向上凸的取值范围为____.. yyx,()yx()x,3ytt,,,31,,
,,dx,(3)_____.. ,12xx,1
,,zz23xz,zey,,23,,(4)设函数由方程确定, 则______. zzxy,(,),,xy
63(5)微分方程满足的特解为_______. y,()20yxdxxdy,,,x,15
210,,
,,,,,BAEA,120ABABAE,,2(6)设矩阵, 矩阵满足, 其中A为的伴随矩阵, 是单位矩,,,,001,,
阵, 则______-. B,
二. 选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,
把所选项前的字母填在题后的括号内. )
2xxx2,3,,costdt(7)把x,0时的无穷小量, , 排列起来, 使排在,,tantdt,,sintdt,,,000后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是
(A) (B) ,,,,,.,,,,,.
(C) (D) ,,,,,.,,,,,.,,(8)设, 则 fxxx()(1),,
fx()(0,0)yfx,()(A)是的极值点, 但不是曲线的拐点. x,0
(B)不是fx()的极值点, 但(0,0)是曲线yfx,()的拐点. x,0
fx()(0,0)yfx,()(C)是的极值点, 且是曲线的拐点. x,0
fx()(0,0)yfx,()(D)不是的极值点, 也不是曲线的拐点. x,0,,
- 1 -
12n222n,,,limln(1)(1)(1)(9)等于 n,,nnn
222(A)lnxdx. (B)2lnxdx. ,,11
222(C)2ln(1),xdx. (D)ln(1),xdx ,,,,11
,(10)设函数连续, 且, 则存在, 使得 fx()f(0)0,,,0
(A)在内单调增加. fx()(0,),
(B)在内单调减小. fx()(,0),,
(C)对任意的有. x,(0,),fxf()(0),
(D)对任意的有. x,,(,0),fxf()(0),,,
2,,(11)微分方程的特解形式可设为 yyxx,,,,1sin
2(A). yaxbxcxAxBx,,,,,,(sincos)
2(B). yxaxbxcAxBx,,,,,,(sincos)
2(C). yaxbxcAx,,,,,sin
2(D) yaxbxcAx,,,,,cos,,
22Dxyxyy,,,(,)2(12)设函数fu()连续, 区域, 则等于 fxydxdy(),,,,D
211,x(A). dxfxydy()2,,,,,11x
222yy,(B). 2()dyfxydx,,00
,,2sin2dfrdr,,,(sincos)(C). ,,00
,,2sin2dfrrdr,,,(sincos)(D) ,,,,00
AABB(13)设是3阶方阵, 将的第1列与第2列交换得, 再把的第2列加到第3列得, 则满足C
AQC,Q的可逆矩阵为
- 2 -
010010,,,,
,,,,100101(A). (B). ,,,,,,,,101001,,,,
010011,,,,
,,,,100100(C). (D). ,,,,,,,,,,011001,,,,
AB(14)设,为满足的任意两个非零矩阵, 则必有 AB,0
AB(A)的列向量组线性相关,的行向量组线性相关.
AB(B)的列向量组线性相关,的列向量组线性相关.
AB(C)的行向量组线性相关,的行向量组线性相关.
AB(D)的行向量组线性相关,的列向量组线性相关. ,,
三. 解答题(本题共9小题,满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
(15)(本题满分10分)
x,,12cosx,,,lim1,求极限. ,,,,3x,0x3,,,,,,
(16)(本题满分10分)
2fxxx()(4),,设函数在()上有定义, 在区间上, , 若对任意的都满足fx()[0,2]x,,,,,
, 其中为常数. fxkfx()(2),,k
(?)写出fx()在[2,0],上的表达式;
(?)问为何值时, fx()在处可导. kx,0
(17)(本题满分11分)
,x,2fxtdt()sin,设,(?)证明fx()是以为周期的周期函数;(?)求fx()的值域. ,,x
(18)(本题满分12分)
xx,ee,y,xxtt,,,0,(0)曲线与直线及y,0围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x轴旋转一周得2
xt,一旋转体, 其体积为Vt(), 侧面积为St(), 在处的底面积为Ft().
- 3 -
St()(?)求的值; Vt()
St()lim(?)计算极限. t,,,Ft()
19)(本题满分12分) (
4222设, 证明. eabe,,,lnln()baba,,,2e
20)(本题满分11分) (
某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机
迅速减速并停下来.现有一质量为的飞机,着陆时的水平速度为.经测试,减速伞打开后,9000kg700/kmh
6飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离k,,6.010是多少?
注 表示千克,表示千米/小时. kgkmh/
(21)(本题满分10分)
2,,,zzz22xy,,zfxye,,(,)设,其中具有连续二阶偏导数,求. f,,,,xyxy
(22)(本题满分9分)
设有齐次线性方程组
(1)0,,,,,,axxxx,1234,2(2)220,xaxxx,,,,,,1234 ,33(3)30,xxaxx,,,,,1234,
,444(4)0,xxxax,,,,,1234,
试问a取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.
(23)(本题满分9分)
123,,,
,,A,,143设矩阵的特征方程有一个二重根, 求的值, 并讨论是否可相似对角化. a,,,,15a,,
- 4 -
范文二:2004年考研数学二真题
2004年全国硕士研究生入学统一考试理工
数学二试题详解及评析
一 . 填空题(本题共 6小题,每小题 4分,满分 24分 . 把答案填在题中横线上 . )
(1) 设 2(1) () lim 1
n n x
f x nx →∞?=+, 则 () f x 的间断点为 x =【答】 0
【 详解 】显然当 0x =时, () 0f x =;
当 0x ≠时, 2
22
1(1(1) 1() lim lim 1n n x
n x x f x nx x x x n →∞→∞??====++
, 所以 () f x 0, 01, 0x x x =??
=?≠??,
因为 0
01
lim () lim
(0)x x f x f x
→→==∞≠ 故 0x =为 () f x 的间断点 .
(2) 设函数 () y x 由参数方程 33
31
31
x t t y t t ?=++??=?+?? 确定 , 则曲线 () y y x =向上凸
的 x 取值范围为 _______.
【答】 1?∞∞(, ) (或 (-, 1])
【 详解 】 由题意得:
22222331213311dy dy t t dx t t t dt
??====?+++,
222223214113(1) 3(1) d y d dy dt t dt dx dx dx t t t ′???
?==??=????
+++????, 令 22
0d y dx
< ?="" 0t=""><>
又 331x t t =++ 单调增 , 在 0t <时 ,="" (,1)="" x="" ∈?∞。="" (∵="" 0t="时," 1x="?x" ∈(,1]?∞时,曲线凸="">时>
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(3
) 1
+∞=∫
______.
【答】
2
π
【 详解 】 方法一:
21
02dt ππ
π
+∞==∫
∫.
【 详解 】 方法二:
1
1
0dt +∞=∫
∫∫
(4)设函数 (, ) z z x y =由方程 232x z z e y ?=+确定 , 则 3z z x y
??+=??______. 【答】 2
【 详解 】 方法一:
在 232x z z e y ?=+ 的两边分别对 x , y 求偏导, z 为 , x y 的函数. 23(23x z z z e x x ???=???,
23(32x z z z
e y y
???=?+??, 从而 2323213x z
x z
z e x e ???=?+,
232
13x z
z y e ??=
?+ 所以 2323132213x z
x z
z z e x y e
????++=?=??+ 方法二:
令 23(, , ) 20x z F x y z e y z ?=+?= 则
232x z F e x
??=??, 2F y ?=?, 23(3) 1x z F
e z ??=??? 2323232322
(13) 13x z x z
x z x z F
z e e x F x e e
z
????????∴=?=?=??++?,
232322(13) 13x z x z F
z
y F y e
e z
?????=?=?=??++?, 从而 232323313221313x z x z
x z z z
e x y e
e ?????
??+=+=????++??
方法三:
利用全微分公式,得
23(23) 2x z dz e dx dz dy ?=?+
2323223x z x z e dx dy e dz ??=+? 2323(13) 22x z x z e dz e dx dy ??+=+
23232322
1313x z x z x z
e dz dx dy e e ???∴=+++ 即 2323213x z x z
z e x e
???=?+, 232
13x z z y e ??=?+ 从而 3
2z z
x y
??+=?? (5)微分方程 3() 20y x dx xdy +?=满足 16
5
x y ==的特解为 ______.
【答】
31
5
y x =+【 详解 】 方法一:
原方程变形为 211
22dy y x dx x
?=,
先求齐次方程 1
02dy y dx x ?= 的通解:
12dy dx y x
= 积分得 1
ln ln ln 2
y x c =+
y ?
=
设 (y c x =
21(((2
c x c x x x ′+= 从而 3
21() 2
c x x ′=,
积分得 35
2211
() 25
c x dx C x C =+=+∫,
于是非齐次方程的通解为
53211
) 55y x C x =+=+
1
6
15x y
C ==?=,
故所求通解为 31
5
y x =+.
方法二:
原方程变形为 211
22dy y x dx x
?=,
由一阶线性方程通解公式得 11
22212dx
x x y e x e dx C ???∫∫=+????
∫
1
1ln ln 22
2
12x x e
x e dx C ???=+????
∫
352211
25x dx C x C ???=+=+??????
∫
6
(1)15
y C =
?=,
从而所求的解为 31
5
y x =+.
(6)设矩阵 210120001A ????
=??????
, 矩阵 B 满足 2ABA BA E ??=+, 其中 A ?为 A 的伴
随矩阵 , E 是单位矩阵 , 则 B =_______.
【答】
19
【 详解 】 方法一:
2ABA BA E ??=+ 2ABA BA E ????=,
(2) A E BA E ???=, 21A E B A E ?∴?==,
22
1111
010(1) (1)392100001
B A E A
A
?
=
===?????. 【 详解 】 方法二:
由 1A A A ??=,得 11122ABA BA E AB A A B A A AA ?????=+?
=+
2A AB A B A ?=+ (2) A A E B A ??= 3
2A A E B A ?
?=
2
119
2B A
A E
∴==
?
二 . 选择题(本题共 8小题,每小题 4分,满分 32分 . 每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 . ) (7) 把 0x +
→时的无穷小量 2
cos x
t dt α=∫
, 20
tan x β=∫
, 30
t dt γ=∫
排
列起来 , 使排在后面的是前一个的高阶无穷小 , 则正确的排列次序是
(A ) , , . αβγ (B ) , , . αγβ
(C ) , , . βαγ (D ) , , . βγα
【 】
【答】 应选(B )
【 详解
】 302
000
lim lim
cos x x x t dt
t dt
γ
α
+
+
→→=∫∫
∵
3
lim x +
→
=3
2
0lim 0x +→==,
即 o () γα=.
又 2
00
0tan lim lim
x x x β
γ+
+
→→=
2
3002tan 22lim lim 01sin 2x x x x x x x ++→→?===, 即 o () βγ=.
从而按要求排列的顺序为 αγβ、 、 , 故选(B ) .
(8)设 () (1) f x x x =?, 则
(A ) 0x =是 () f x 的极值点 , 但 (0,0) 不是曲线 () y f x =的拐点 . (B ) 0x =不是 () f x 的极值点 , 但 (0,0) 是曲线 () y f x =的拐点 . (C ) 0x =是 () f x 的极值点 , 且 (0,0) 是曲线 () y f x =的拐点 . (D ) 0x =不是 () f x 的极值点 , (0,0) 也不是曲线 () y f x =的拐点 .
【 】
【答】 应选(C )
【 详解 】 () f x =(1), 10
(1), 01x x x x x x ???<><>
,
() f x ′=12, 10
12,
01x x x x ?+?<><>
() f x ′′=2,
10
2,
01
x x ?<>
?<>
从而 10x ?<时 ,="">时>
) f x 凹 , 10x >>时 , () f x 凸 , 于是 (0,0) 为拐点 . 又 (0)0f =, 01x ≠、时 , () 0f x >, 从而 0x =为极小值点 . 所以 , 0x =是极值点 , (0,0) 是曲线 () y f x =的拐点 , 故选(C ) .
(9
) lim ln n →∞等于
(A ) 221
ln xdx ∫. (B ) 2
1
2ln xdx ∫.
(C ) 21
2ln(1) x dx +∫. (D ) 2
21
ln (1) x dx +∫
【 】
【答】 应选(B )
【 详解
】 lim ln n →∞ 2
12lim ln (1)(1(1n
n n n n n →∞?
?=+++???
?
212lim
ln(1) ln(1) (1n n n n n n →∞??=++++++????
1
1lim 2ln(1) n
n i i n n →∞==+∑ 1
02ln(1) x dx =+∫
21
12ln x t tdt +=∫2
1
2ln xdx =∫
故选(B ) .
(10)设函数 () f x 连续 , 且 (0)0f ′>, 则存在 0δ>, 使得
(A ) () f x 在 (0,) δ内单调增加 . (B ) () f x 在 (, 0) δ?内单调减小 . (C )对任意的 (0,) x δ∈有 () (0)f x f >.
(D )对任意的 (, 0) x δ∈?有 () (0)f x f >.
【 】
【答】 应选(C )
【 详解 】由导数的定义知
0() (0)
(0)lim 00x f x f f x →?′=>?,
由极限的性质 , 0δ?>, 使 x δ<时 ,="">时>
() (0)
0f x f x
?> 即 0x δ>>时 , () (0)f x f >,
0x δ?<时 ,="" ()="" (0)f="" x="" f="">时><>
故选(C ) .
(11)微分方程 21sin y y x x ′′+=++的特解形式可设为
(A ) 2(sin cos ) y ax bx c x A x B x ?=++++. (B ) 2(sin cos ) y x ax bx c A x B x ?=++++. (C ) 2sin y ax bx c A x ?=+++.
(D ) 2cos y ax bx c A x ?=+++
【 】
【答】 应选(A )
【 详解 】对应齐次方程 0y y ′′+= 的特征方程为
210λ+=, 特征根为 i λ=±,
对 2021(1) y y x e x ′′+=+=+ 而言 , 因 0不是特征根 , 从而其特解形式可设为
21y ax bx c ?=++
对 sin () ix m y y x I e ′′+==, 因 i 为特征根 , 从而其特解形式可设为
2(sin cos ) y x A x B x ?
=+
从而 21sin y y x x ′′+=++ 的特解形式可设为
2(sin cos ) y ax bx c x A x B x ?=++++
(12)设函数 () f u 连续 , 区域 {}
22(, ) 2D x y x y y =+≤, 则 () D
f xy dxdy ∫∫等于
(A
) 1
1
() dx f xy dy ?∫∫
. (B
) 2
2() dy f xy dx ∫∫
.
(C ) 2sin 20
0(sin cos ) d f r dr πθθθθ∫∫
.
(D ) 2sin 20
(sin cos ) d f r rdr π
θθθθ∫∫
【 】
【答】 应选(D )
【 详解 】积分区域见图. 在直角坐标系下,
2
() () D
f xy dxdy dy f xy dx =∫∫∫∫
1
11
1() dx f xy dy ?=∫∫
故应排除(A ) 、 (B ) .
在极坐标系下, cos sin x r y r θθ=??=?
,
x
y
2sin 20
() (sin cos ) D
f xy dxdy d f r rdr πθθθθ=∫∫∫∫
,
故应选(D ) .
(13) 设 A 是 3阶
方阵 , 将 A 的第 1列与第 2
列交换得 B , 再把 B 的第 2列加到第 3列得 C , 则满足 AQ C =的可逆矩阵 Q 为
(A ) 010100101??????????. (B ) 010101001??
??
??????
.
(C ) 010100011??????????. (D ) 011100001??
??
??????
.
【 】
【答】 应选(D )
【 详解 】由题意 010100001B A ????=??????, 100011001C B ??
??
=??????
,
010100100011001001C A ????????∴=????????????011100001A AQ ??
??
==??????,
从而 011100001Q ??
??
=??????
,故选(D ) .
(14)设 A , B 为满足 0AB =的任意两个非零矩阵 , 则必有
(A ) A 的列向量组线性相关 , B 的行向量组线性相关 . (B ) A 的列向量组线性相关 , B 的列向量组线性相关 . (C ) A 的行向量组线性相关 , B 的行向量组线性相关 . (D ) A 的行向量组线性相关 , B 的列向量组线性相关 .
【 】
【答】 应选(A )
【 详解 】 方法一:
设 () , i j l m A a ×=() i j m n B b ×=, 记 ()1
2m A A A A =
0AB = ?
()1112121
22
21
2
12n n m m m mn b b b b b b A A A b
b b ??
??
??
??
?????
????
()1111110m m n mn m b A b A b A b A =++++= (1) 由于 0B ≠, 所以至少有一 0i j b ≠(1,1i m j n ≤≤≤≤), 从而由(1)知 , 112210j j i j i m m b A b A b A b A +++++= , 于是 12, , , m A A A 线性相关.
又记 12m B B
B B ??
????=????????
, 则
0AB = ?
11121121222212m m l l l m m a a a B a a a B a a a B ??????????????????????????????
? 1111221211222211220m m m m l l l m m a B a B a B a B a B a B a B a B a B +++??
??
+++??
==??????+++??
由于 0A ≠,则至少存在一 0i j a ≠(1,1i l j m ≤≤≤≤),使 11220i i i j j im m a B a B a B a B ++++= , 从而 12, , , m B B B 线性相关, 故应选(A ) .
方法二:
设 A 为 m ×n 矩阵, B 为 n ×s 矩阵,则由 AB =0知,
r (A)+r (B) <>
又 A 、 B 为非零矩阵,所以 r (A) > 0, r (B) > 0, 从而 r (A ) < n,="" r="" (b="" )="">< n,即="" a="" 的列向量组线性相关,="" b="" 的行向量组线性相关,故应选(a="" )="">
三 . 解答题(本题共 9小题,满分 94分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 . )
(15) (本题满分 10分)
求极限 3
01
2cos lim 13x x x x
→??+?????????????
.
【 详解 】 方法一:
301
2cos lim 13x
x x x
→??+?????????????
2cos ln 33
01
lim x x x e
x +??
??
?
?→?=
202cos ln 3lim x x x →+????
??= 20ln 2cos ln 3
lim
x x x
→+?=() 01
sin lim 2x x x →??=)
011sin 1
lim 22cos 6
x x x x →=??=?+
【 详解 】 方法二:
3
12cos lim
13x
x x x →??+?????????????
2cos ln 33
01
lim x x x e
x
+??
??
?
?→?=
202cos ln 3lim x x x →+????
??= 20cos 1
ln lim x x x
→?+
=(1 20cos 11
lim 36
x x x →?==?
(16) (本题满分 10分)
设函数 () f x 在(, ?∞+∞)上有定义 , 在区间 [0,2]上 , 2() (4) f x x x =?, 若对 任意的 x 都满足 () (2) f x k f x =+, 其中 k 为常数 .
(Ⅰ)写出 () f x 在 [2, 0]?上的表达式 ; (Ⅱ)问 k 为何值时 , () f x 在 0x =处可导 . 【 详解 】 (Ⅰ) 当 20x ?≤<,即 022x="">,即><>
() (2) f x k f x =+2(2)[(2) 4](2)(4) k x x kx x x =++?=++.
(Ⅱ) 由题设知 (0)0f =.
200() (0)(4)
(0)lim lim 40x x f x f x x f x x +++→→??′===??
0() (0)(2)(4) (0)lim lim 80x x f x f kx x x f k x x
?
??→→?++′===?. 令 (0)(0)f f ?+′′=, 得 1
2
k =?.
即当 1
2k =?时 , () f x 在 0x =处可导 .
(17) (本题满分 11分) 设 2
() sin x x
f x t dt π+=∫
,
(Ⅰ)证明 () f x 是以 π为周期的周期函数 ; (Ⅱ)求 () f x 的值域 . 【 详解 】 (Ⅰ) 32
() sin x x f x t dt π
π
π+++=∫,
设 t u π=+, 则有
2
2
() sin() sin () x x x x
f x u du u du f x ππππ+++=+==∫
∫
,
故 () f x 是以 π为周期的周期函数 .
(Ⅱ) 因为 sin x 在 (, ) ?∞+∞上连续且周期为 π, 故只需在 [0,]π上讨论其值域 . 因为
() sin() sin cos sin 2
f x x x x x π
′=+
?=?,
令 () 0f x ′=, 得 14
x π
=
, 234
x π
=
, 且
344
(sin 4
f t dt πππ
==∫
55443344
3() sin sin sin 24f t dt t dt t dt π
π
πππππ==?=?∫∫∫, 又 20
(0)sin 1f t dt π
==∫, 32() (sin ) 1f t dt π
π
π=?=∫
,
∴() f x
的最小值是 2?,
, 故 () f x
的值域是 [2.
(18) (本题满分 12分)
曲线 2
x x e e y ?+=与直线 0, (0) x x t t ==>及 0y =围成一曲边梯形 . 该曲边梯形
绕 x 轴旋转一周得一旋转体 , 其体积为 () V t , 侧面积为 () S t , 在 x t =处的底面积为
() F t .
(Ⅰ)求
()
()
S t V t 的值; (Ⅱ)计算极限 ()
lim
()
t S t F t →+∞.
【 详解 】
(Ⅰ) 0
() 2t S t π=∫
02t
π=∫ 2
022x x t
e e dx π???
+=???
?∫, 2
200() 2x x
t t e e
V t y dx dx ππ???+==????
∫∫, ()
2()
S t V t ∴
=. (Ⅱ) 2
2
() 2t t x t
e e F t y ππ?=??+==????
,
20222() lim lim () 2x x t
t t t
t e e dx S t F t e e ππ?→+∞→+∞???+????=??+??
??∫
2
22lim
222
t t t
t t t t e e e e e e ???→+∞??+??
??=????
+????
?????
lim 1t t
t t t e e e e
??→+∞+==?
(19)
(本题满分 12分) 设 2e a b e <, 证明="">,>
4
ln ln () b a b a e ?>?. 【 详证 】 方法一:
设 224
() ln x x x e
?=?, 则
2ln 4
() 2
x x x e ?′=? 2
1ln () 2x
x x ??′′=,
所以当 x e >时 , () 0x ?′′<, 故="" ()="" x="" ?′单调减小="" ,="" 从而当="" 2e="" x="" e="">,><时 ,="">时>
244
() () 0x e e e
??′′>=
?=, 即当 2e x e <时 ,="" ()="" x="" ?单调增加="" .="" 因此="" ,="" 当="" 2e="" a="" b="" e="">时><时 ,="" ()="" ()="" b="" a="" ??="">, 即 22
2244ln ln b b a a e e
?
>? 故 2224
ln ln () b a b a e
?>?.
方法二:
设 2224
() ln ln () x x a x a e
?=???, 则
2ln 4
() 2x x x e ?′=?
2
1ln () 2x
x x ??′′=,
∴x e >时 , () 0x ?′′<() x="" ?′?="" ,="" 从而当="" 2e="" x="" e="">()><时 ,="">时>
244
() () 0x e e e
??′′>=?=, 2e x e ?<时 ,="" ()="" x="" ?单调增加="">时>
2e a b e ?<时 ,="" ()="" ()="" 0x="" a="" ??="">=。令 x b =有 () 0b ?>
即 2224
ln ln () b a b a e
?>?.
方法三:
对函数 2ln x 在 [, ]a b 上应用拉格朗日定理 , 得 222ln ln ln () b a b a ξ
ξ
?>
?, a b ξ<>
设 ln () t t t ?=
, 则 21ln () t t t
??′=, 当 t e >时 , () 0t ?′<, 所以="" ()="" t="" ?单调减小="" ,="" 从而="" 2()="" ()="" e="" ?ξ?="">, 即
222ln ln 2
e e e ξ
ξ
>=, 故 222
4
ln ln () b a b a e ?>
?
(20) (本题满分 11分)
某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减 速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.
现有一质量为 9000kg 的飞机,着陆时的水平速度为 700/km h .经测试,减速伞 打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 66.010k =×).问从着 陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?
注 kg 表示千克, /km h 表示千米/小时. 【 详解 】 方法一:
由题设,飞机的质量 9000m kg =,着陆时的水平速度 0700/v km h =.从飞机接 触跑道开始记时,设 t 时刻飞机的滑行距离为 () x t ,速度为 () v t . 根据牛顿第二定律,得
dv
m kv dt
=?.
又 dv dv dx dv
v dt dx dt dx
=?=,
m
dx dv k ∴=?,
积分得 () m
x t v C k
=?+,
由于 0(0)v v =, (0)0x =, 故得 0m
C v k
=, 从而
0() (()) m
x t v v t k
=?.
当 () 0v t →时, 069000700
() 1.05() 6.010mv x t km k
×→
==×. 所以,飞机滑行的最长距离为 1.05km .
方法二:
根据牛顿第二定律,得
dv
m kv dt =?.
所以 dv k
dt v m =?,
两边积分得 k
t m
v Ce
?=,
代入初始条件 00t v v ==, 得 0C v =,
0() k t m
v t v e
?
∴=,
故飞机滑行的最长距离为 0
() 1.05() k t m
mv mv x v t dt e km k
k
+∞?
+∞==?
=
=∫
.
方法三:
根据牛顿第二定律,得 22d x dx
m k dt dt
=?,
220d x k dx dt m dt
+=, 其特征方程为 20k
r r m
+=, 解得 10r =, 2k r m
=?
, 故 12k t m
x C C e ?
=+,
由 (0)0x =, 200
(0)k t m t t kC dx
v e v dt
m
?===
=?=, 得 0
12mv C C k
=?=
, 0
() (1) k t m mv x t e k
?∴=?.
当 t →+∞时,
069000700
() 1.05() 6.010mv x t km k
×→
==×. 所以,飞机滑行的最长距离为 1.05km .
(21) (本题满分 10分)
设 2
2
(, ) xy
z f x y e =?,其中 f 具有连续二阶偏导数,求 2, , z z z
x y x y
???????.
【 详解 】
122xy z
x f ye f x
?′′=+?,
122xy z
y f xe f y
?′′=?+? 211
12222[(2) ]xy xy xy z
x f y f xe e f xye f x y
?′′′′′′=??+?++??21
22[(2) ]xy xy ye f y f xe ′′′′+??+? 22211
1222242() (1) xy xy xy xyf x y e f xye f e xy f ′′′′′′′=?+?++++.
(22) (本题满分 9分) 设有齐次线性方程组
123412341
2341234(1) 0,
2(2) 220,
33(3) 30, 444(4) 0,
a x x x x x a x x x x x a x x x x x a x ++++=??
++++=??
++++=??++++=? 试问 a 取何值时 , 该方程组有非零解 , 并求出其通解 .
【 详解 】 方法一:
对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换 , 有
111111
11222220033333004444400
a a
a a a B a a a a a a ++???????
?+??
???
→=????+?????????+????
?
当 0a =时 , () 14r A =<, 故方程组有非零解="" ,="">,>
12340x x x x +++=.
由此得基础解系为
1(1,1, 0, 0) T
η=?, 2(1, 0,1, 0) T
η=?, 3(1, 0, 0,1) T
η=?,
于是所求方程组的通解为
112233x k k k ηηη=++, 其中 123, , k k k 为任意常数 .
当 0a ≠时 ,
1111100
002
100210030103010400
14001a a B ++???????????
???→→?????????????????
??
?
当 10a =?时 , () 34r A =<, 故方程组也有非零解="" ,="">,>
12131420,
30, 40,
x x x x x x ?+=??
?+=???+=?
由此得基础解系为
(1,2, 3, 4) T η=,
所以所求方程组的通解为 x k η=, 其中 k 为任意常数 .
方法二:
方程组的系数行列式
311112222(10) 33334444a a A a a a a +????
+?
?==+??+????+??
. 当 0A =, 即 0a =或 10a =?时 , 方程组有非零解 . 当 0a =时 , 对系数矩阵 A 作初等行变换 , 有
111111
112222000033330000444
40000A ?????????
???=→?????????????
??
?
故方程组的同解方程组为 12340x x x x +++=.
其基础解系为
1(1,1, 0, 0) T η=?, 2(1, 0,1, 0) T η=?, 3(1, 0, 0,1) T η=?,
于是所求方程组的通解为
112233x k k k ηηη=++, 其中 123, , k k k 为任意常数 .
当 10a =?时 , 对 A 作初等行变换 , 有
911191
11282220100033733001004446400010A ?????????????
???=→???????????????????? 9
11100
002100210030103010400
14001???????????????→
→
?????????????????
??
?
故方程组的同解方程组为
21314
12,
3, 4,
x x x x x x =??
=??=?
其基础解系 为 (1,2, 3, 4) T η=,
所以所求方程组的通解为 x k η=, 其中 k 为任意常数 .
(23) (本题满分 9分)
设矩阵 12314315a ?????
????????
的特征方程有一个二重根 , 求 a 的值 , 并讨论 A 是否可相
似对角化 .
【 详解 】 A 的特征多项式为
1
232201
4
314
31
515a
a
λλλλλλλ?????=???????
1
1
1
(2) 143(2) 13315115a a λλλλλλ?=??=?????????
2(2)(8183) a λλλ=??++.
若 2λ=是特征方程的二重根 , 则有 22161830a ?++=, 解得 2a =?.
当 2a =?时 , A 的特征值为 2, 2, 6, 矩阵 1232123123E A ???
??
?=?????????
的秩为 1,
故 2λ=对应的线性无关的特征向量有两个 , 从而 A 可相似对角化 .
若 2λ=不是特征方程的二重根 , 则 28183a λλ?++为完全平方 , 从而 18316a +=, 解得 2
3
a =?.
当 2
3a =?时 , A 的特征值为 2, 4, 4, 矩阵 32321032
113E A ????????=??????????
的秩为 2,
故 4λ=对应的线性无关的特征向量只有一个 , 从而 A 不可相似对角化 .
范文三:2004年考研数学二真题及其解析doc
2004年考硕数学(二)真题评注
一. 填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上. )
(1)nx,(1)设, 则的间断点为 0 . fx()x,fx()lim,2n,,nx,1
【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的,先用求极限的方法得出x
的表达式, 再讨论的间断点. fx()fx()
详解】显然当时,; 【fx()0,x,0
1,x(1)nxx,(1)1n当时, , fx,,,,()limlimx,022nn,,,,1nxxx,12x,n
0,0x,,,所以 , fx(),1,,0x,,x,
1因为 fxf,,,,lim()lim(0)xx,,00x
故 为fx()的间断点. x,0
【评注】本题为常规题型,类似例题见《题型集粹与练习题集》P21【例1.36】
3,xtt,,,31,(2)设函数由参数方程 确定, 则曲线yyx,()向上凸的取值范围为yx()x,3ytt,,,31,,
. (,)(或(-,1]),,,1
xxt,(),【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性,先用由 ,yyt,(),
22,,,,,,dyytxtxtyt()()()(),dy,,0定义的 求出二阶导数,再由 确定的取值范围. x232,dxxt(())dx
dy22dytt3312,,dt【详解】 , ,,,,,1222dxdxttt3311,,,
dt
2,dyddydtt214,,,,,,,,,1 , ,,,,22223dtdxdxdxttt,,,13(1)3(1),,,,
2dy,0,令 . t,02dx
3,x,,,(,1)(,1],,又 单调增, 在 时, 。(时,x,时,曲线凸.)xtt,,,31t,0t,0x,1
【评注】本题属新题型.已考过的题型有求参数方程所确定的函数的二阶导数, 如1989、1991、1994、
2003数二考题,也考过函数的凹凸性.关于参数方程求二阶导数是文登考研辅导班强调的重点, 类似例
题见《数学复习指南》P53一般方法及【例2.9】和《临考演习》P86【题(10)】.
,,,dx,(3). ,122xx,1
【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值.
,,,,dxttsectan,,22【详解1】 . xtdtdt,,,sec,,,1002sectan2tt,xx,1
,,01dxt111,1,,,,,【详解2】 . xdtdtt()arcsin,,,2011022t2t1,,xxt11,12t
【评注】本题为混合广义积分的基本计算题,主要考查广义积分(或定积分)的换元积分法,完全类似
的例题见《数学复习指南》P130-131【例4.54】.
,,zz23xz,3,,(4)设函数由方程确定, 则. zzxy,(,)2zey,,2,,xy
【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解.
23xz,zey,,2yxy,【详解1】在 的两边分别对,求偏导,为的函数. zx
,,zz23xz, , (23),,e,,xx
,,zz23xz,(3)2,,,e , ,,yy
23xz,,ze2,从而 , 23xz,,x13,e
,z2, 23xz,,y13,e
23xz,,,,zze1所以 322,,,,23xz,,,xy13,e
23xz,Fxyzeyz(,,)20,,,,【详解2】令
,F,F,F23xz,23xz,,2则 , , 2(3)1,,,e,,e,y,z,x
,F2323xzxz,,22,,zee,x?,,,,, , 2323xzxz,,,F(13)13,,,,xee
,z
,F
22,z,y , ,,,,,2323xzxz,,,F(13)13,,,,yee
,z
23xz,,,,,zze31从而 322,,,,,,2323xzxz,,,,,,xyee1313,,
【详解3】利用全微分公式,得
23xz,dzedxdzdy,,,(23)2
2323xzxz,,,,,223edxdyedz
2323xzxz,,(13)22,,,edzedxdy
23xz,22e?,, dzdxdy 2323xzxz,,,,1313ee
23xz,,z2,ze2,, 即 , 23xz,23xz,,,ye13,,xe13
,,zz32,, 从而 ,,xy
【评注】此题属于典型的隐函数求偏导.相似的例题见《数学复习指南》P282【习题十第2,4题】.
1633yxx,,(5)微分方程满足的特解为. y,()20yxdxxdy,,,x,155【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初
值条件确定通解中的任意常数而得特解.
dy112【详解1】原方程变形为 , ,,yxdxx22
dy1先求齐次方程 的通解: ,,y0dxx2
dy1,dx yx2
1积分得 ,,ycxlnlnlnyxc,,2
设为非齐次方程的通解,代入方程得 ycxx,()
1112,cxxcxcxxx()()(),,, 22x2x
312,cxx(),从而 , 2
351122积分得 , cxxdxCxC(),,,,,25
于是非齐次方程的通解为
51132 yxxCCxx,,,,()55
6 , yC,,,1x,15
13故所求通解为 . yxx,,5
dy112【详解2】原方程变形为 , ,,yxdxx22
由一阶线性方程通解公式得
11dxdx,,,1,,2xx22 yexedxC,,,,,2,,
11xx,lnln,,1222 exedxC,,,,,2,,
35,,,,1122 ,,,,xxdxCxxC,,,,,25,,,,
6 , yC(1)1,,,5
13从而所求的解为 . yxx,,5
【评注】此题为求解一阶线性方程的常规题,相似的例题见《临考演习》P62【16题第一问】.
210,,
,,,,,BAEA,120ABABAE,,2A(6)设矩阵, 矩阵满足, 其中为的伴随矩阵, 是单位矩阵, ,,,,001,,
1则. B,9
【分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值.
,,,,,,,ABABAE2ABABAE,,2【详解1】 ,
,,,,(2)AEBAE ,
,?,,,AEBAE21 ,
1111 B,,,,. 2,010,,,(1)(1)39,AEA22100A
,001
,,1【详解2】由,得 AAA,
,,,,,111 ABABAEABAABAAAA,,,,,22
,,,AABABA2
3,,,AAEBA2 ,,,AAEBA(2)
11 ?,,B29AAE,2
【评注】此题是由矩阵方程及矩阵的运算法则求行列式值的一般题型,考点是伴随矩阵的性质和矩
,,1AA,阵乘积的行列式. 相似的例题见《数学复习指南》P387-888【例2.18】,只需将例中互换.类似例子还可见《临考演习》P48【题(6)】和P66【题(6)】.
二. 选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,
只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. )
2xxx2,3,,costdt(7)把x,0时的无穷小量, , 排列起来, 使排在后面,,tantdt,,sintdt,,,000
的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是
(A) (B) ,,,,,.,,,,,.
(C),,,,,. (D),,,,,. B,,
【分析】对与变限积分有关的极限问题,一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小代换求解.
x3sintdt,,0,limlim【详解】 x,,2,,xx00,costdt,0
312sinx,
2x, lim 2,x,0cosx
32xx,,,limlim0 , ,,xx,,0022x
即 ,,,o().
2x2tantdt,,tan22xxx,0,limlim又 , ,,,limlim03,,,,xxx,,00xx,,1003,12sintdtxsinx,,022x
,,,o()即 .
从而按要求排列的顺序为, 故选(B). ,,,、、
【评注】此题为比较由变限积分定义的无穷小阶的常规题,类似例题见《临考演习》P73【题(7)】.
(8)设, 则 fxxx()(1),,
(A)是的极值点, 但不是曲线的拐点. fx()(0,0)yfx,()x,0
(B)不是的极值点, 但是曲线的拐点. fx()(0,0)yfx,()x,0
(C)是的极值点, 且是曲线的拐点. fx()(0,0)yfx,()x,0
(D)不是的极值点, 也不是曲线的拐点. fx()(0,0)yfx,()Cx,0,,
,,,【分析】求分段函数的极值点与拐点, 按要求只需讨论两方, 的符号.fx()fx()x,0
,,,,,xxx(1),10,【详解】 , fx(),,xxx(1),01,,,,
,,,,,12,10xx,, , fx(),,12,01,,,xx,
2,10,,,x,,, , fx(),,,,,2,01x,
从而时, 凹, 时, 凸, 于是为拐点. fx()fx()(0,0),,,10x10,,x
又, 时, , 从而为极小值点. f(0)0,x,01、fx()0,x,0
所以, 是极值点, 是曲线的拐点, 故选(C). (0,0)yfx,()x,0
评注】此题是判定分段函数的极值点与拐点的常规题目, 类似的题目见文登学校数学考研串讲班【
资料.
12n222n,,,limln(1)(1)(1)(9)等于 ,,nnnn
222lnxdx2lnxdx(A). (B). ,,11
2222ln(1),xdxln(1),xdx(C). (D) B,,,,11
【分析】将原极限变型,使其对应一函数在一区间上的积分和式。作变换后,从四个选项中选出正
确的.
12n222n,,,limln(1)(1)(1)【详解】 ,,nnnn
2
n12n,, ,,,,limln(1)(1)(1),,,,nnnn,,
212n,,,,,,,,,limln(1)ln(1)(1) ,,n,,nnnn,,
ni1 ,,lim2ln(1),,,nnn1,i
1,,2ln(1)xdx ,0
212ln,,xttdt ,1
2,2lnxdx ,1
故选(B).
【评注】此题是将无穷和式的极限化为定积分的题型,值得注意的是化为定积分后还必须作一变换,
才能化为四选项之一.类似例题见《数学复习指南》P36-37【例1.59】.
,(10)设函数fx()连续, 且f(0)0,, 则存在, 使得 ,,0
(A)fx()在(0,),内单调增加.
(B)fx()在(,0),,内单调减小.
(C)对任意的x,(0,),有fxf()(0),.
(D)对任意的x,,(,0),有fxf()(0),. C,,
【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数fx()在附近的局部性质.x,0
【详解】由导数的定义知
fxf()(0),, , f(0)lim0,,x,0x,0
由极限的性质, , 使时, 有 x,,,,,0
fxf()(0), ,0x
fxf()(0),即时, , ,,,x0
时, , fxf()(0),,,,,x0
故选(C).
【评注】此题是利用导数的定义和极限的性质讨论抽象函数在某一点附近的性质. 完全类似的题目见《临考演习》P41【题(13)】.
2,,(11)微分方程的特解形式可设为 yyxx,,,,1sin
2(A). yaxbxcxAxBx,,,,,,(sincos)
2(B). yxaxbxcAxBx,,,,,,(sincos)
2(C). yaxbxcAx,,,,,sin
2(D) AyaxbxcAx,,,,,cos,,
【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式.
,,【详解】对应齐次方程 的特征方程为 yy,,0
2 , ,,,10
特征根为 , ,,,i
202,,对 而言, 因0不是特征根, 从而其特解形式可设为 yyxex,,,,,1(1)
,2 yaxbxc,,,1
ix,,i对 , 因为特征根, 从而其特解形式可设为 yyxIe,,,sin()m
, yxAxBx,,(sincos)2
2,,从而 的特解形式可设为 yyxx,,,,1sin
,2yaxbxcxAxBx,,,,,(sincos)
【评注】这是一道求二阶常系数线性非齐次方程特解的典型题,此题的考点是二阶常系数线性方程解的结构及非齐次方程特解的形式. 一般结论见《数学复习指南》P165【表6-4】.
22Dxyxyy,,,(,)2(12)设函数fu()连续, 区域, 则等于 fxydxdy(),,,,D
211,x(A). dxfxydy()2,,,,,11x
222yy,(B). 2()dyfxydx,,00
,,2sin2(C). dfrdr,,,(sincos),,00
,,2sin2(D)dfrrdr,,,(sincos) D,,,,00
【分析】将二重积分化为累次积分的方法是:先画出积分区域的示意图,再选择直角坐标系和极坐标
系,并在两种坐标系下化为累次积分.
y【详解】积分区域见图.
在直角坐标系下, 2
221(1),,y fxydxdydyfxydx()(),2,,,,01(1),,,yD1,
2111,,x ,dxfxydy()2,,,,,111x
xo,11故应排除(A)、(B).
xr,cos,,在极坐标系下, , ,yr,sin,,
,,2sin2fxydxdydfrrdr()(sincos),,,, , ,,,,00D
故应选(D).
【评注】此题是将二重积分化为累次积分的常规题,关键在于确定累次积分的积分限. 类似例题见
《临考演习》P54【题(7)】.
AABB(13)设是3阶方阵, 将的第1列与第2列交换得, 再把的第2列加到第3列得, 则满足C
的可逆矩阵为 AQC,Q
010010,,,,
,,,,100101A). (B). (,,,,,,,,101001,,,,
010011,,,,
,,,,100100(C). (D). D,,,,,,,,,,011001,,,,
【分析】根据矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系,对题中给出的行(列)变换通过左(右)乘一
相应的初等矩阵来实现.
010100,,,,
,,,,BA,100CB,011【详解】由题意 , , ,,,,,,,,001001,,,,
010100011,,,,,,
,,,,,,,,AAQ100?,CA100011 , ,,,,,,,,,,,,001001001,,,,,,
011,,
,,Q,100从而 ,故选(D). ,,,,001,,
【评注】此题的考点是初等变换与初等矩阵的关系,抽象矩阵的行列初等变换可通过左、右乘相应
的初等矩阵来实现.类似的题目见《题型集粹与练习题集》P197【例2.2】.
AB(14)设,为满足的任意两个非零矩阵, 则必有 AB,0
AB(A)的列向量组线性相关,的行向量组线性相关.
AB(B)的列向量组线性相关,的列向量组线性相关.
AB(C)的行向量组线性相关,的行向量组线性相关.
AB(D)的行向量组线性相关,的列向量组线性相关. A,,
AABB【分析】将写成行矩阵, 可讨论列向量组的线性相关性.将写成列矩阵, 可讨论行向量组的
线性相关性.
【详解】设 , 记 Aa,(),Bb,()ijlm,ijmn,
AAAA,,,12m
bbb,,11121n,,bbb21222n,, ,AB,0AAA,,12m,,,,,
,,,,bbbmmmn12,,
(1) ,,,,,,bAbAbAbA0,,111111mmnmnm
由于, 所以至少有一 (1,1,,,,imjn), b,0B,0ij
从而由(1)知, , bAbAbAbA,,,,,,011221jjijimm
AAA,,,于是 线性相关. 12m
B,,1,,B2,,B,又记 , ,,
,,,,B,,m
aaaaBaBaB,,,B,,,,,,11121m1111221mm1,,,,,,aaaaBaBaB,,,B21222m2112222mm2,,,,,,则 0,AB,0,,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,,,aaaaBaBaB,,,Blllm12lllmm1122m,,,,,,由于,则至少存在一 (),使 1,1,,,,iljma,0A,0ij
, aBaBaBaB,,,,,0iiijjimm1122
BBB,,,从而 线性相关, 12m
故应选(A).
【评注】此题的考点是分块矩阵和向量组的线性相关性,此题也可以利用齐次线性方程组的理论求
解. 类似例题见《数学复习指南》P411【例3.12】.
三. 解答题(本题共9小题,满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
(15)(本题满分10分)
x,,12cos,x,,lim1,求极限. ,,,,3x,0x3,,,,,,
0【分析】此极限属于型未定式.可利用罗必塔法则,并结合无穷小代换求解. 0
2cos,x,,xln,,3,,e,1【详解1】 原式 ,lim3x,0x
2cos,x,,ln,,3,, ,lim2x,0x
ln2cosln3(),,x ,lim2x,0x
1(),,sinx2cos,x,lim x,02x
11sin1x ,,,,,limx,0,22cos6xx
2cos,x,,xln,,3,,e,1详解2】 原式 【,lim3x,0x
2cos,x,,ln,,3,, ,lim2x,0x
cos1x,ln(1),3,lim 2x,0x
cos11x, ,,,lim2x,036x
【评注】此题为求未定式极限的常见题型.在求极限时,要注意将罗必塔法则和无穷小代换结合,以
简化运算,类似的例题见《题型集粹与练习题集》P12【例1.23】及文登考研数学辅导班例题.
(16)(本题满分10分)
2设函数在()上有定义, 在区间上, , 若对任意的都满足fx()[0,2]x,,,,,fxxx()(4),,
, 其中为常数. fxkfx()(2),,k
(?)写出在上的表达式; fx()[2,0],
?)问为何值时, 在处可导. (fx()kx,0
【分析】分段函数在分段点的可导性只能用导数定义讨论. 【详解】(?)当,即时, ,,,20x022,,,x
2 . fxkfx()(2),,,,,,,,,kxxkxxx(2)[(2)4](2)(4)
(?)由题设知 f(0)0,.
2fxfxx()(0)(4),,,f(0)limlim4,,,, ,,,xx,,00xx,0
fxfkxxx()(0)(2)(4),,,, . fk(0)limlim8,,,,,,xx00,,xx,0
1,,ff(0)(0),令, 得. k,,,,2
1即当时, 在处可导. fx()k,,x,02
【评注】此题的考点是用定义讨论分段函数的可导性,完全类似的例题见《数学复习指南》P49【例
2.3】.
(17)(本题满分11分)
,x,2fxtdt()sin,设, ,x
fx()(?)证明是以,为周期的周期函数;
fx()(?)求的值域.
【分析】利用变量代换讨论变限积分定义的函数的周期性,利用求函数最值的方法讨论函数的值域.
3,x,2fxtdt()sin,,,【详解】 (?) , ,x,,
设, 则有 tu,,,
,,xx,,22fxuduudufx()sin()sin(),,,,,,, , ,,xx
故是以为周期的周期函数. fx(),
(?)因为在上连续且周期为, 故只需在上讨论其值域. 因为(,),,,,[0,],,sinx
,,fxxxxx()sin()sincossin,,,,, , 2
,3,,令, 得, , 且 xfx()0,,,x1244
3,,4 , ftdt()sin2,,,,44
5,5,,3,44ftdttdttdt()sinsinsin22,,,,,, 3,3,,,,,444
,3,
22ftdt(0)sin1,,ftdt()(sin)1,,,,又 , , ,,0,
的最小值是22,, 最大值是2, 故的值域是. ?fx()fx()[22,2],【评注】此题的讨论分两部分: (1)证明定积分等式,常用的方法是变量代换, 类似的题目见《数学复习指南》P113【例4.31】.
(2)求变上限积分的最值, 其方法与一般函数的最值相同, 类似的例题见《题型集粹与练习题集》P55
【例4.7】.
(18)(本题满分12分)
xx,ee,y,xxtt,,,0,(0)y,0曲线与直线及围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x轴旋转一周得一2
xt,Vt()St()旋转体, 其体积为, 侧面积为, 在处的底面积为Ft().
St()(?)求的值; Vt()
St()lim(?)计算极限. t,,,Ft()
【分析】用定积分表示旋转体的体积和侧面积,二者及截面积都是的函数,然后计算它们之间的关t系.
t2,【详解】 (?)Styydx()21,,, ,0
xxxx,,22,,teeee,,,2,,21,dx ,,,024,,
2xx,,,tee, , 2,dx,,,,02,,
2xx,,,ttee,2 , (),,Vtydxdx,,,,,,002,,
St()?,2 . Vt()
2tt,,,ee,2Fty(),,,,(?), ,,xt,2,,
2xx,t,,ee,2,dx,,,02()St,, limlim,2tt,,,,,,tt,()Ft,,ee,,,,2,,
2tt,,,ee,2,,2,, ,lim tttt,,t,,,,,,,eeee,,2,,,,22,,,,
tt,ee,lim1,, tt,t,,,ee,
【评注】在 t 固定时,此题属于利用定积分表示旋转体的体积和侧面积的题型,考点是定积分几何应用的公式和罗必塔求与变限积分有关的极限问题.具体作法见《数学复习指南》P196-198.
(19)(本题满分12分)
4222设, 证明. eabe,,,lnln()baba,,,2e
【分析】文字不等式可以借助于函数不等式的证明方法来证明,常用函数不等式的证明方法主要有单调性、极值和最值法等.
42【详证1】设, 则 ,,,()lnxxx2e
ln4x, ,,,()2x2xe
1ln,x,, , ,()2x,2x
2,,,所以当时, , 故单调减小, 从而当时, xe,,()0x,,()xexe,,
442,, , ,,,,,,()()0xe22ee2即当时, 单调增加. ,()xexe,,
2因此, 当时, , 即 ,,()()ba,eabe,,,
4422 lnlnbbaa,,,22ee
422故 . lnln()baba,,,2e
422【详证2】设, 则 ,,,,,()lnln()xxaxa2e
ln4x, ,,,()2x2xe
1ln,x,, , ,()2x,2x
2,,,,()x,时, , 从而当时, ?xe,,()0x,exe,,
442,, , ,,,,,,()()0xe22ee2时, 单调增加. ,()x,,,exe
2时, 。令有 ,,()()0xa,,,()0b,,,,,eabexb,
422即 . lnln()baba,,,2e
2 【详证3】证 对函数在[,]ab上应用拉格朗日定理, 得 lnx
2ln,22,,,lnln()baba , ab,,,. ,
lnt1ln,t,设, 则, ,,,()t()t,2tt
,te,,()0t,,()t当时, , 所以单调减小,
2,,,()(),e从而, 即
2lnln2,e,, , 22ee,
422故 lnln()baba,,,2e
【评注】此题是文字不等式的证明题型.由于不能直接利用中值定理证明,所以常用的方法是将文字
不等式化为函数不等式,然后借助函数不等式的证明方法加以证明. 类似的例题见《题型集粹与练习题
集》P87【例6.3】.
(20)(本题满分11分)
某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞
机迅速减速并停下来.
现有一质量为的飞机,着陆时的水平速度为.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总9000kg700/kmh
6阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少? k,,6.010
注 表示千克,表示千米/小时. kgkmh/
【分析】本题属物理应用.已知加速度或力求运动方程是质点运动学中一类重要的计算,可利用牛顿
第二定律,建立微分方程,再求解.
vkmh,700/【详解1】由题设,飞机的质量,着陆时的水平速度.从飞机接触跑道开始记mkg,90000时,设t时刻飞机的滑行距离为,速度为. xt()vt()
根据牛顿第二定律,得
dv . mkv,,dt
dvdvdxdv又 , ,,,vdtdxdtdx
m , ?,,dxdvk
m积分得 , xtvC(),,,k
mvv(0),由于,x(0)0,, 故得, 从而 Cv,00k
m . xtvvt()(()),,0k
当vt()0,时,
mv9000700,0 . xtkm()1.05(),,,6k6.010,
所以,飞机滑行的最长距离为1.05km.
【详解2】根据牛顿第二定律,得
dv . mkv,,dt
dvk所以 , ,,dtvm
kt,mvCe,两边积分得 ,
Cv,代入初始条件 , 得, vv,00t,0
k,tm , ?,vtve()0
故飞机滑行的最长距离为
,,k,t,,mvmv00m . ,,,,,()1.05()xvtdtekm,0kk0
【详解3】根据牛顿第二定律,得
2dxdxmk,, , 2dtdt
2dxkdx,,0, 2dtmdt
k2其特征方程为 , rr,,0m
kr,0解得, , r,,12m
kt,m故 xCCe,,, 12
k,tkCdxmv20mvev(0),,,,由, ,得, x(0)0,CC,,,012dtmkt,0t,0
k,tmv0m?,,()(1)xte. k
t,,,当时,
mv9000700,0 . xtkm()1.05(),,,6k6.010,
所以,飞机滑行的最长距离为. 1.05km
【评注】此题的考点是由物理问题建立微分方程,并进一步求解.完全类似的例题见《数学复习指南》
P174【例6.24】、《题型集粹与练习题集》P182【例12.19】.
(21)(本题满分10分)
2,,,zzz22xy,,zfxye,,(,)设,其中f具有连续二阶偏导数,求. ,,,,xyxy【分析】利用复合函数求偏导和混合偏导的方法直接计算.
,zxy,,【详解】 , 2,,xfyef12,x
,zxy,,2,,,yfxef , 12,y
2,zxyxyxyxyxy,,,,,,2[(2)],,,,,,,,,,,xfyfxeefxyef ,,,,,yefyfxe[(2)]1112222122,,xy
222xyxyxy,,,,,,, . ,,,,,,,,42()(1)xyfxyefxyefexyf1112222
评注】此题属求抽象复合函数高阶偏导数的常规题型. 类似的例题见《数学复习指南》P269【例【
10.18】.
(22)(本题满分9分)
设有齐次线性方程组
(1)0,,,,,,axxxx,1234,2(2)220,xaxxx,,,,,,1234 ,33(3)30,xxaxx,,,,,1234,
,444(4)0,xxxax,,,,,1234,
试问取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解. a
【分析】此题为求含参数齐次线性方程组的解.由系数行列式为0确定参数的取值,进而求方程组的
非零解.
A【详解1】对方程组的系数矩阵作初等行变换, 有
11111111,,aa,,,,
,,,,2222200,,aaa,,,,,,B ,,,,3333300,,aaa
,,,,,,,,4444400,,aaa,,,,
当时, , 故方程组有非零解, 其同解方程组为 rA()14,,a,0
xxxx,,,,0 . 1234
由此得基础解系为
TTT , , , ,,,(1,1,0,0),,,(1,0,1,0),,,(1,0,0,1)123于是所求方程组的通解为
xkkk,,,,,,kkk,, , 其中为任意常数. 112233123当时, a,0
111110000,,aa,,,,
,,,,,,21002100,,,,B,, ,,,,,,30103010
,,,,,,,,,,40014001,,,,
rA()34,,当时, , 故方程组也有非零解, 其同解方程组为 a,,10
,,,20,xx,12,,,,30,xx ,13
,,,,40,xx,14
由此得基础解系为
T,,(1,2,3,4) , 所以所求方程组的通解为
, 其中为任意常数. xk,,k
【详解2】方程组的系数行列式
1111,a,,
,,2222,a3,,Aaa,,,(10). ,,3333,a
,,,,4444,a,,
当, 即或时, 方程组有非零解. A,0a,0a,,10
A当时, 对系数矩阵作初等行变换, 有 a,0
11111111,,,,
,,,,22220000,,,,A,, ,,,,33330000
,,,,,,,,44440000,,,,
故方程组的同解方程组为
xxxx,,,,0 . 1234
其基础解系为
TTT , , , ,,,(1,1,0,0),,,(1,0,1,0),,,(1,0,0,1)123于是所求方程组的通解为
xkkk,,,,,,kkk,, , 其中为任意常数. 112233123
A当时, 对作初等行变换, 有 a,,10
,,91119111,,,,
,,,,2822201000,,,,,,A,, ,,,,3373300100,,
,,,,,,,,4446400010,,,,,,
,91110000,,,,
,,,,,,21002100,,,,,, ,,,,,,30103010
,,,,,,,,,,40014001,,,,
故方程组的同解方程组为
xx,2,,21,xx,3, ,31
,xx,4,41,
T,,(1,2,3,4)其基础解系为,
xk,,所以所求方程组的通解为, 其中为任意常数 k
【评注】解此题的方法是先根据齐次方程有非零解的条件确定方程组中的参数,再对求得的参数对应
的方程组求解. 类似的例题见《数学复习指南》P435【例4.4】.
23)(本题满分9分) (
123,,,
,,A,,143设矩阵的特征方程有一个二重根, 求的值, 并讨论是否可相似对角化.a,,,,15a,,
【分析】由矩阵特征根的定义确定的值,由线性无关特征向量的个数与秩之间的关系确定a,EA,
A是否可对角化.
A【详解】的特征多项式为
,,,,,,,123220
143143,,, ,,
,,,,,,1515aa,,
110100,
,,,,,,,,,,(2)143(2)133
,,,,,,,15115aa,,
2,,,,,(2)(8183),,,a .
2若是特征方程的二重根, 则有, 解得. 2161830,,,,a,,2a,,2
123,,,
,,A2123EA,,,当时, 的特征值为2, 2, 6, 矩阵的秩为1, a,,2,,,,,,123,,
A故对应的线性无关的特征向量有两个, 从而可相似对角化. ,,2
2若不是特征方程的二重根, 则为完全平方, ,,,,,8183a,,2
2从而, 解得. a,,18316,,a3
,,
,,323,,,2A 当时, 的特征值为2, 4, 4, 矩阵的秩为2, a,,2103EA,,,,3,,2,,11,,3,,
A故对应的线性无关的特征向量只有一个, 从而不可相似对角化. ,,4A见《数学复习指南》【评注】此题的考点是由特征根及重数的定义确定 的秩, 进而由P463【例的秩与线性无关特征向量的个数关系确定5.13】.a的值, 对a的取值讨论对应矩阵的特征根及对应是否可相似对角化. 类似的例题,EA,,EA,
范文四:2004年考硕数学二真题a
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2004年考硕数学(二)真题 一. 填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上. )
(1)nx,(1)设, 则的间断点为 . fx()x,fx()lim,2n,,nx,1
3,xtt,,,31,(2)设函数由参数方程 确定, 则曲线向上凸的取值范围为____.. yyx,()yx()x,3ytt,,,31,,
,,dx(3)_____.. ,,12xx1,
,,zz23xz,(4)设函数由方程确定, 则______. 3,,zzxy,(,)zey,,2,,xy
63(5)微分方程满足的特解为_______. ()20yxdxxdy,,,y,x,15
210,,
,,,,,(6)设矩阵, 矩阵满足, 其中为的伴随矩阵, 是单位矩BABABAE,,2AAEA,120,,,,001,,
阵, 则______-. B,
二. 选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,
把所选项前的字母填在题后的括号内. )
2xxx23,(7)把时的无穷小量, , 排列起来, 使排在,,costdt,,tantdt,,sintdtx,0,,,000后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是
(A) (B) ,,,,,.,,,,,.
(C) (D) ,,,,,.,,,,,.,,(8)设, 则 fxxx()(1),,
(A)是fx()的极值点, 但(0,0)不是曲线yfx,()的拐点. x,0
(B)不是的极值点, 但是曲线的拐点. fx()(0,0)yfx,()x,0
(C)是fx()的极值点, 且(0,0)是曲线yfx,()的拐点. x,0
(D)不是fx()的极值点, (0,0)也不是曲线yfx,()的拐点. x,0,,
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12n222n(9)等于 ,,,limln(1)(1)(1),,nnnn
222(A). (B). lnxdx2lnxdx,,11
222(C). (D) 2ln(1),xdxln(1),xdx,,,,11
,(10)设函数连续, 且, 则存在, 使得 fx()f(0)0,,,0
(A)在内单调增加. fx()(0,),
(B)在内单调减小. fx()(,0),,
(C)对任意的有. x,(0,),fxf()(0),
(D)对任意的有. x,,(,0),fxf()(0),,,
2,,(11)微分方程的特解形式可设为 yyxx,,,,1sin
2(A). yaxbxcxAxBx,,,,,,(sincos)
2(B). yxaxbxcAxBx,,,,,,(sincos)
2(C). yaxbxcAx,,,,,sin
2(D) yaxbxcAx,,,,,cos,,
22(12)设函数连续, 区域, 则等于 fu()fxydxdy()Dxyxyy,,,(,)2,,,,D
211,x(A). dxfxydy()2,,,,,11x
222yy,(B). 2()dyfxydx,,00
,,2sin2(C). dfrdr,,,(sincos),,00
,,2sin2(D) dfrrdr,,,(sincos),,,,00
AABB(13)设是3阶方阵, 将的第1列与第2列交换得, 再把的第2列加到第3列得, 则满足C
AQC,的可逆矩阵为 Q
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010010,,,,
,,,,(A). (B). 100101,,,,,,,,101001,,,,
010011,,,,
,,,,(C). (D). 100100,,,,,,,,,,011001,,,,
(14)设,为满足的任意两个非零矩阵, 则必有 ABAB,0
(A)的列向量组线性相关,的行向量组线性相关. AB
(B)的列向量组线性相关,的列向量组线性相关. AB
(C)的行向量组线性相关,的行向量组线性相关. AB
(D)的行向量组线性相关,的列向量组线性相关. AB,,
三. 解答题(本题共9小题,满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) (15)(本题满分10分)
x,,12cosx,,,求极限. lim1,,,,,3,0xx3,,,,,,
(16)(本题满分10分)
2设函数在()上有定义, 在区间上, , 若对任意的都满足fx()[0,2],,,,,xfxxx()(4),,
, 其中为常数. fxkfx()(2),,k
(?)写出在上的表达式; fx()[2,0],
(?)问为何值时, 在处可导. fx()x,0k
(17)(本题满分11分)
,x,2设,(?)证明是以为周期的周期函数;(?)求的值域. fx()fx()fxtdt()sin,,,x
(18)(本题满分12分)
xx,ee,曲线与直线xxtt,,,0,(0)及围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕轴旋转一周得y,0xy,2
一旋转体, 其体积为, 侧面积为, 在处的底面积为. St()Vt()Ft()xt,
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St()(?)求的值; Vt()
St()(?)计算极限. limt,,,Ft()
19)(本题满分12分) (
4222设, 证明. eabe,,,lnln()baba,,,2e
20)(本题满分11分) (
某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机
迅速减速并停下来.现有一质量为的飞机,着陆时的水平速度为.经测试,减速伞打开后,9000kg700/kmh
6飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离k,,6.010
是多少?
注 表示千克,表示千米/小时. kgkmh/
(21)(本题满分10分)
2,,,zzz22xy设,其中具有连续二阶偏导数,求. ,,zfxye,,(,)f,,,,xyxy(22)(本题满分9分)
设有齐次线性方程组
(1)0,,,,,,axxxx,1234,2(2)220,xaxxx,,,,,,1234 ,33(3)30,xxaxx,,,,,1234,
,444(4)0,xxxax,,,,,1234,
试问取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解. a
(23)(本题满分9分)
123,,,
,,设矩阵的特征方程有一个二重根, 求的值, 并讨论A是否可相似对角化. a,,143,,,,15a,,
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2004年考硕数学(二)真题评注
一. 填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上. )
(1)nx,(1)设, 则的间断点为 0 . fx()x,fx()lim,2n,,nx,1
【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的,先用求极限的方法得出fx()x
的表达式, 再讨论的间断点. fx()
【详解】显然当时,; fx()0,x,0
1,x(1)nxx,(1)1n当时, , x,0fx,,,,()limlim22nn,,,,1nxxx,21x,n
0,0x,,,所以 , fx(),1,,0x,,x,
1因为 fxf,,,,lim()lim(0)xx,,00x
故 为的间断点. fx()x,0
3,xtt,,,31,(2)设函数由参数方程 确定, 则曲线向上凸的取值范围为yyx,()yx()x,3ytt,,,31,,
. (,)(或(-,1]),,,1
xxt,(),【分析】判别由参数方程定义的曲线的凹凸性,先用由 ,yyt,(),
22,,,,,,dydyytxtxtyt()()()(),定义的 求出二阶导数,再由 确定的取值范围. ,0x,223,dxdxxt(())
dy22dytt3312,,dt【详解】 , ,,,,,1222dxdxttt3311,,,
dt
2,dyddydtt214,,,, , ,,,,,1,,,,22223dtdxdxdxttt,,,13(1)3(1),,,,
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3又 单调增, 在 时, .(时,时,曲线凸.) x,,,(,1)(,1],,,x,xtt,,,31t,0t,0x,1【评注】本题属新题型.已考过的题型有求参数方程所确定的函数的二阶导数, 如1989、1991、1994、
2003数二考题,也考过函数的凹凸性.
,,dx,(3). ,,122xx1,
【分析】利用变量代换法和形式上的牛顿莱布尼兹公式可得所求的广义积分值.
,,,,dxttsectan,,22【详解1】 . xtdtdt,,,sec,,,1002sectan2tt,xx,1
,,01dxt111,1【详解2】 . ,,,,,xdtdtt()arcsin,,,2011022t2t1,,xxt11,12t
【评注】本题为混合广义积分的基本计算题,主要考查广义积分(或定积分)的换元积分法.
,,zz23xz,(4)设函数由方程确定, 则3,,. 2zzxy,(,)zey,,2,,xy
【分析】此题可利用复合函数求偏导法、公式法或全微分公式求解.
23xz,【详解1】在 的两边分别对,求偏导,z为的函数. zey,,2yxy,x
,,zz23xz, , (23),,e,,xx
,,zz23xz,(3)2 , ,,,e,,yy
23xz,,ze2从而 , ,23xz,,x13,e
,z2 ,23xz,,y13,e
23xz,,,,zze1所以 322,,,,23xz,,,xy13,e
23xz,【详解2】令 Fxyzeyz(,,)20,,,,
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,F,F,F23xz,23xz,则 , , ,22(3)1,,e,,,e,y,x,z
,F2323xzxz,,22,,zee,x , ?,,,,,2323xzxz,,,F(13)13,,,,xee
,z
,F
22,z,y , ,,,,,2323xzxz,,,F(13)13,,,,yee
,z
23xz,,,,,zze31从而 322,,,,,,2323xzxz,,,,,,xyee1313,,
【详解3】利用全微分公式,得
23xz, dzedxdzdy,,,(23)2
2323xzxz,, ,,,223edxdyedz
2323xzxz,, (13)22,,,edzedxdy
23xz,22e ?,,dzdxdy2323xzxz,,,,1313ee
23xz,,z2,ze2 即 , ,,23xz,23xz,,,ye13,,xe13
,,zz32,, 从而 ,,xy
【评注】此题属于典型的隐函数求偏导.
1633(5)微分方程满足的特解为. ()20yxdxxdy,,,y,yxx,,x,155
【分析】此题为一阶线性方程的初值问题.可以利用常数变易法或公式法求出方程的通解,再利用初值
条件确定通解中的任意常数而得特解.
dy112【详解1】原方程变形为 , ,,yxdxx22
dy1先求齐次方程 的通解: ,,y0dxx2
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dy1 ,dxyx2
1积分得 ,,ycxlnlnlnyxc,,2
设为非齐次方程的通解,代入方程得 ycxx,()
1112, cxxcxcxxx()()(),,,22x2x
312,从而 , cxx(),2
351122积分得 , cxxdxCxC(),,,,,25
于是非齐次方程的通解为
51132 yxxCCxx,,,,()55
6 , yC,,,1x,15
13故所求通解为 . yxx,,5
dy112【详解2】原方程变形为 , ,,yxdxx22
由一阶线性方程通解公式得
11dxdx,,,1,,2xx22 yexedxC,,,,,2,,
11xx,lnln,,1222 exedxC,,,,,2,,
35,,,,1122 ,,,,xxdxCxxC,,,,,25,,,,
6 , yC(1)1,,,5
13从而所求的解为 . yxx,,5
【评注】此题为求解一阶线性方程的常规题.
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210,,
,,,,,(6)设矩阵, 矩阵满足, 其中为的伴随矩阵, 是单位矩BABABAE,,2AAEA,120,,,,001,,
1阵, 则. B,9
分析】利用伴随矩阵的性质及矩阵乘积的行列式性质求行列式的值. 【
,,,,【详解1】 , ABABAE,,2,,,ABABAE2
, , ,,,(2)AEBAE
, ?,,,AEBAE21,
1111 . ,,,,B2,010,,,(1)(1)39,AEA22100A
,001
,,1【详解2】由,得 AAA,
,,,,,111 ABABAEABAABAAAA,,,,,22
,,,AABABA2
3 ,,,AAEBA2 ,,,AAEBA(2)
11 ?,,B29AAE,2
【评注】此题是由矩阵方程及矩阵的运算法则求行列式值的一般题型,考点是伴随矩阵的性质和矩阵乘
积的行列式.
二. 选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,
把所选项前的字母填在题后的括号内. )
2xxx23,(7)把时的无穷小量, , 排列起来, 使排在,,costdt,,tantdt,,sintdtx,0,,,000后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是
(A) (B) ,,,,,.,,,,,.
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(C) (D) ,,,,,.,,,,,.B,,
【分析】对与变限积分有关的极限问题,一般可利用洛必塔法则实现对变限积分的求导并结合无穷小
代换求解.
x3sintdt,,0【详解】 ,limlimx,,,,200xx,costdt,0
312x,sin
x2 ,lim,2x,0xcos
3
2xx , ,,,limlim0,,xx,,0022x
即 . ,,,o()
2x2tantdt,tan22xxx,,0又 , ,,,,limlim0limlim3,,,,xxx,,,,10000xx31,2sintdtxsinx,,022x
即 . ,,,o()
从而按要求排列的顺序为, 故选(B). ,,,、、
【评注】此题为比较由变限积分定义的无穷小阶的常规题.
(8)设, 则 fxxx()(1),,
(A)是的极值点, 但不是曲线的拐点. fx()(0,0)yfx,()x,0
(B)不是的极值点, 但是曲线的拐点. fx()(0,0)yfx,()x,0
(C)是的极值点, 且是曲线的拐点. fx()(0,0)yfx,()x,0
(D)不是的极值点, 也不是曲线的拐点. fx()(0,0)yfx,()Cx,0,,
,,,【分析】求分段函数的极值点与拐点, 按要求只需讨论两方fx(), fx()的符号. x,0
,,,,,xxx(1),10,【详解】 , fx(),,xxx(1),01,,,,
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,,,,,12,10xx,, , fx(),,12,01,,,xx,
2,10,,,x,,, , fx(),,,,,2,01x,
从而时, 凹, 时, 凸, 于是为拐点. fx()fx()(0,0),,,10x10,,x
又, 时, , 从而为极小值点. f(0)0,fx()0,x,01、x,0
所以, 是极值点, 是曲线的拐点, 故选(C). (0,0)yfx,()x,0
【评注】此题是判定分段函数的极值点与拐点的常规题目
12n222n(9)等于 ,,,limln(1)(1)(1),,nnnn
222(A). (B). lnxdx2lnxdx,,11
222(C). (D) 2ln(1),xdxln(1),xdxB,,,,11
【分析】将原极限变型,使其对应一函数在一区间上的积分和式.作变换后,从四个选项中选出正确的.
12n222n【详解】 ,,,limln(1)(1)(1),,nnnn
2
n12n,, ,,,,limln(1)(1)(1),,,,nnnn,,
212n,, ,,,,,,,limln(1)ln(1)(1),,n,,nnnn,,
ni1 ,,lim2ln(1),,,nnn1,i
1 ,,2ln(1)xdx,0
2 12ln,,xttdt,1
2 ,2lnxdx,1
故选(B).
【评注】此题是将无穷和式的极限化为定积分的题型,值得注意的是化为定积分后还必须作一变换,才
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,(10)设函数连续, 且, 则存在, 使得 fx()f(0)0,,,0
(A)在内单调增加. fx()(0,),
(B)在内单调减小. fx()(,0),,
(C)对任意的有. x,(0,),fxf()(0),
(D)对任意的有. x,,(,0),fxf()(0),C,,
【分析】可借助于导数的定义及极限的性质讨论函数在附近的局部性质. fx()x,0
【详解】由导数的定义知
fxf()(0),, , f(0)lim0,,x,0x,0
由极限的性质, , 使时, 有 x,,,,,0
fxf()(0), ,0x
即时, , fxf()(0),,,,x0
时, , fxf()(0),,,,,x0
故选(C).
【评注】此题是利用导数的定义和极限的性质讨论抽象函数在某一点附近的性质.
2,,(11)微分方程的特解形式可设为 yyxx,,,,1sin
2(A). yaxbxcxAxBx,,,,,,(sincos)
2(B). yxaxbxcAxBx,,,,,,(sincos)
2(C). yaxbxcAx,,,,,sin
2(D) AyaxbxcAx,,,,,cos,,
【分析】利用待定系数法确定二阶常系数线性非齐次方程特解的形式.
,,【详解】对应齐次方程 yy,,0 的特征方程为
2 , ,,,10
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万学教育公共课事业部 特征根为 , ,,,i
202,,对 而言, 因0不是特征根, 从而其特解形式可设为 yyxex,,,,,1(1)
,2 yaxbxc,,,1
ix,,对 , 因为特征根, 从而其特解形式可设为 yyxIe,,,sin()im
, yxAxBx,,(sincos)2
2,,从而 的特解形式可设为 yyxx,,,,1sin
,2 yaxbxcxAxBx,,,,,(sincos)
【评注】这是一道求二阶常系数线性非齐次方程特解的典型题,此题的考点是二阶常系数线性方程解的结构及非齐次方程特解的形式.
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范文五:2006年考研数学二真题
2006年全国硕士研究生入学考试数学(二) 一、填空题
xx,4sin(1)曲线的水平渐近线方程为 y,52cosxx,
x,12sin,0tdtx,,3,fx(),(2)设函数 在x=0处连续,则a= x,0,ax,0,,
,,xdx(3)广义积分 ,22,(1)x,0
yx(1),,(4)微分方程的通解是 y,x
dyyyxe,,1yyx,()由方程(5)设函数确定,则 ,x,0dx
(6) 设A = 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA=B +2E,则|B|= .
-1 2
二、选择题
,,,fxfxx()0,()0,,,,(7)设函数具有二阶导数,且为自变量x在点x处yfx,()0
,ydyfxx与分别为在点处对应增量与微分(),若的增量,,则[ ] ,,x00
(A)0,,,dyy (B)0,,,ydy
(C),,,ydy0 (D)dyy,,,0 (8)设fx()是奇函数,除外处处连续,是其第一类间断点,则 x,0x,0
x
是[ ] ftdt(),0
(A)连续的奇函数 (B)连续的偶函数
(C)在x=0间断的奇函数 (D)在x=0间断的偶函数
1(),gx,,hxehg(),(1)1,(1)2,,,,gx()可微,(9)设函数则g(1)等于[ ]
(A) (B) ln31,,,ln31
,,ln21ln21, (C) (D)
1(),gx1(1),g,,,,ln21hxgxe()(),? , g(1)= 12,e
xxx,2(10)函数满足的一个微分方程是[ ] ycecxe,,,12
xx,,,,,,yyyxe,,,23yyye,,,23 (A) (B)
xx,,,,,,yyyxe,,,23yyye,,,23 (C) (D)
xxx,2将函数代入答案中验证即可. ycecxe,,,12
,14
(11)设为连续函数,则等于[ ] fxy(,)dfrrrd,,,,(cos,sin),,00
2222,x1,x122
(A) (B) dxfxydy(,)dxfxydy(,),,,,x000
2222,y1,y122
(C) (D) dyfxydx(,)dyfxydx(,),,,,y000
,,(,)0,xy,已知(,)(,)xyfxy是(12)设fxyxy(,)(,)与,均为可微函数,且在约束条y00件下的一个极值点,下列选项正确的是[ ] ,(,)0xy,
,, (A)若 fxyfxy(,)0,(,)0,,则xy0000
,, (B)若 fxyfxy(,)0,(,)0,,则xy0000
,, (C)若 fxyfxy(,)0,(,)0,,则xy0000
,, (D)若 fxyfxy(,)0,(,)0,,则xy0000
(13)设,,,,…,, 都是n维向量,A是m,n矩阵,则( )成立. 12s
(A) 若,,,,…,,线性相关,则A,,A,,…,A,线性相关. 12s12s
(B) 若,,,,…,,线性相关,则A,,A,,…,A,线性无关. 12s12s
(C) 若,,…,线性无关,则,,…,线性相关. ,,,A,A,A,12s12s
(D) 若,,,,…,,线性无关,则A,,A,,…,A,线性无关. 12s12s(14)设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得
C.记 1 1 0
P= 0 1 0 ,则
0 0 1
-1-1(A) C=PAP. (B) C=PAP.
TT(C) C=PAP. (D) C=PAP.
三、解答题
x233eBxCxAxox(1)1(),,,,,ox()(15)试确定A,B,C的常数值,使其中是当
3. xx,0时比的高阶无穷小
xarcsine(16)求. dxx,e
1,xy22Dxyxyx,,,,{(,)||,0}(17)设区域, 计算二重积分. Idxdy,22,,1,,xyD
xxn,,sin(1,2,3,){}x0,,x,(18)设数列满足, n1nn,1
证明:(1)存在,并求极限; limxn,1n,,
12xn,,x1n,lim (2)计算. ,,n,,xn,,
1(19)证明:当时,. ,,,,,,0,,,ab,bbbbaaasin2cossin2cosa,
22Zfxy,,fu()(0,)在,,(20)设函数内具有二阶导数,且满足等式,,22,,zz,,0. 22,,xy
,fu(),,(I)验证 ; fu()0,,u
,fu()的表达式(II)若ff(1)0,(1)1,, 求函数.
2,xt,,1(21)已知曲线L的方程 (0)t,,2ytt,,4,
(I)讨论L的凹凸性;
(,)xy(1,0),(II)过点引L的切线,求切点,并写出切线的方程; 00
xx,部分)及x轴所围的平面图形的面积. (III)求此切线与L(对应0
(22)已知非齐次线性方程组
x+x+x+x=-1, 1234
4x+3x+5x-x=-1, 1234
ax+x+3x+bx=1 1234
有3个线性无关的解.
? 证明此方程组的系数矩阵A的秩为2.
? 求a,b的值和方程组的通解.
TT (23) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量,=(-1,2,-1), ,=(0,-1,1)都是12
齐次线性方程组=0的解. AX
? 求的特征值和特征向量. A
T? 求作正交矩阵Q和对角矩阵,,使得 QAQ=,.
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