范文一:第一类稳定第二类稳定
第一类稳定第二类稳定
3.2.1第一类稳定计算
3.2.1.1有限元模型的建立
(1)单元的选择
对钢桥塔进行有限元分析,可以采用空间梁单元或者板壳单元。采用空间梁单元建模方便,求解过程耗费的时间少,但是空间梁单元不能考虑横隔板的影响,也不能反映钢桥塔的局部屈曲情况。相反,采用板壳单元可以详细地模拟钢桥塔的内部构造,进而精确地计算钢桥塔的局部稳定,但是采用板壳单元建立模型比较复杂,划分的单元数目比较多,模型的自由度数目也比较大。
为了对试验模型屈曲时的受力和变形进行较好的模拟,采用8节点壳单元进行分析。该单元特别适合于曲壳模型,每个节点都具有6个自由度:沿节点坐标系X、Y、Z方向的平动和沿节点坐标系X、Y、Z轴的转动。变形在两个方向上都是二次的。该单元具有塑性、应力刚化、大变形以及大应变的能力。
(2)材料特性
材料为线弹性,弹性模量E?2.06?10MPa,泊松比v=0.3。
(3)模型尺寸
有限元模型尺寸与试验模型尺寸相同。模型塔高2.94m,截面300×500mm,壁 板厚6mm,各壁板中间分别设一道纵向加劲肋,截面尺寸均为40mm×4mm,塔高的中
间位置处设一道横隔板,厚4mm。在塔顶、塔底分别设一块刚性板以防止局部受力变形。有限元模型如图3.35一图3.37所示。
图3.35模型横隔板 图3.36钢桥塔节段几何模型
图3.37钢桥塔节段网格划分
由图3.35~图3.37可以看出,该模型不仅对钢桥塔节段的各部分进行了模拟,而且对实际构件的细部构造也进行了很好的模拟,如横隔板周围为焊缝预留的圆形挖孔以及人洞的设置,以期能够最大限度地反映实际构件的真实结构和受力情况,减少误差的产生。
(5)边界条件
在试验时,试件直接放置在长柱机的试验平台上进行加载,两端并未设置铰支座,因此对边界条件的模拟带来了困难。考虑到长柱机在加载端自带有一球铰,而试件直接与加载端的平台接触,故可认为试件在该端为铰结。试件的另一端通过加载板上的螺栓固定在长柱机的横梁上,可认为该端为固结。另外,模型两端均限制了扭转自由度。
(6)加载方式
采用集中力的方式进行加载。
3.2.1.2有限元计算结果
(1)失稳临界荷载
经过一类稳定计算,得到钢桥塔节段的失稳临界荷载为Fcr?4007kN,试验所得失稳极限荷载为Fu?2150kN,两者相差46%。可见,由于没有考虑构件初始缺陷和非线性等因素的影响,一类失稳临界荷载大大高于结构的实际失稳荷载,不能真实反映结构的稳定承载能力,是结构屈曲荷载的
上限。对结构进行第一类稳定计算,得到的失稳临界荷载将偏于不安全。
(2)失稳模态第三章矩形截面钢桥塔局部稳定试验研究
线性屈曲分析得到的钢桥塔节段失稳模态见图3.38一图3.39,图中,x方向沿着模型横截面的长边方向,y方向沿着横截面的短边方向。 t5
从模型两个方向的变形来看,模型失稳时四个壁板均发生了凹曲和凸曲变形,加劲肋随同壁板一起变形,形成了若干连续的凹凸交错的正弦半波曲线。各壁板均按同一波长屈曲,且以横隔板作为凹凸变形的反弯点,说明横隔板对壁板的局部屈曲起到了一定的限制作用。宽壁板的最大变形大于窄壁板相应的最大变形,证明了宽厚比大的板件抵抗局部屈曲的能力弱于宽厚比小的板件。屈曲后壁板间的夹角保持直角,壁板的交线仍保持直线。这种失稳模态与试验所得失稳模态基本相同。
图3.38一类稳定x向位移云图 图3.39一类稳定y向位移云图
3.2.2第二类稳定计算
第二类稳定计算的过程中需要计入几何非线性刚度方程,如果结构中的部分应力超过了材料的屈服强度时还需要计入材料非线性刚度方程,因此对结构第二类稳定极限承载力分析的过程实质上是通过不断求解计入几何非线性和材料非线性刚度矩阵寻找其极限荷载的过程。由于结构在不断增加的外荷载作用下其结构的刚度不断发生变化,当外荷载产生的压应力或剪应力使得结构的切线刚度矩阵趋于奇异时,结构的承载力就达到了极限,此时的外荷载即为极限荷载。所以第二类稳定问题的实质是一个极限承载力问题。
3.2.2.1有限元模型的建立
钢桥塔第二类稳定计算采用的有限元模型与第一类稳定计算时基本相同,不同之处在于考虑了材料非线性、几何非线性和结构初始缺陷的影响。钢材的本构关系选用了较为常见的理想弹塑性模型,弹性模量E=2.06?10MPa,屈服强度取为试验中所用钢材的实际屈服强度σy=280MPa,泊松比v=0.3。
在考虑结构初始几何缺陷对极限承载力的影响时,目前有三种典型的方法:一种是确定性方法,其代表是一致缺陷模态法,该方法的计算量小,在工程设计中应用较广;第二种为随机缺陷的方法,其代表是随机缺陷模态法,该法是基于统计规律基础上的,因此更能反映结构的实际情况。由于这种方法的计算量很大,因此不宜在工程设计中应用,但该法可作为检验确定性方法的一种手段。第三种方法是实测法,测得结构的实际初始变形,将其计入模型中进行计算。这种方法不易实施,且计算量较大。现在工程设计中多采用一致缺陷模态法。
一致缺陷模态法认为由特征值屈曲分析得到的最低阶临界点所对应的屈曲模态为结构的最低阶屈曲模态,结构按该模态变形将处于势能最小状态,所以对于实际结构,在加荷的最初阶段即有沿着该模态变形的趋势,如果结构的缺陷分布形式恰好与最低阶屈曲模态相吻合,这将对其受力性能产生最不利影响。一致缺陷模态法就是利用特征值屈曲分析得到的最低阶屈曲模态来模拟结构的最不利缺陷分布,然后对缺陷结构进行非线性稳定分析,从而获得结构的最小临界荷载。
本文对钢桥塔模型初始几何缺陷的模拟采用了一致缺陷模态法,即取第一类稳定分析中的局部屈曲一阶模态作为初始几何缺陷的形状,最大变
形取3mm
3.2.2.2有限元计算结果
(1)稳定承载力
钢桥塔第二类稳定计算得到的失稳极限荷载Fu=2405kN,与试验得到的极限荷载2150kN比较接近。表3.4列出了钢桥塔节段的稳定承载力。
表3.4稳定承载力比较
5
由表3.4可以看出,第一类稳定计算得到的失稳临界荷载明显高于实测的失稳极限荷载,是实测荷载的近2倍,而非线性计算得到的失稳极限荷载与试验实测的失稳极限第三章矩形截面钢桥塔局部稳定试验研究荷载比较接近,只比实际荷载高出了10%。由于结构制作的偏差、残余应力以及荷载初偏心等因素的影响,使得结构的实际承载力较计算值偏低,同时也说明了这些因素对结构稳定承载力的影响不可忽视。由此可见,在计算结构的局部失稳承载力时,进行第一类稳定分析可以得到结构在理想条件下的最大承载力,其可作为结构承载力的上限,检验非理想情况下计算得到的结构承载力的正确性,而且由此得到的失稳模态是进行稳定承载力分析的前提。但一类稳定分析结果会夸大结构的承载能力,得到的结果将偏于不安全。而考虑了材料非线性、几何非线性和初始缺陷的第二类稳定分析,可以较好地反映结构的真实受力状态,正确地估计结构的稳定承载能力,可以作为稳定分析的依据。
(2)失稳模态
图3.40和图3.41为达到极限状态时,模型x向和y向的位移云图。图
中,x方向沿着模型横截面的长边方向,y方向沿着横截面的短边方向,图中所示变形均为放大了10倍的效果。
图3.40二类稳定:向位移云图(mm) 图3.41二类稳定y向位移云图(mm)
从模型的变形图可以看出,在达到失稳极限荷载时,模型的壁板均发生了局部屈曲,加劲肋随同壁板一起变形,在纵向形成了若干连续的凹凸交错的正弦半波曲线。各壁板均按同一波长屈曲,且以横隔板作为相邻两半波的分界点,说明横隔板对壁板的局部屈曲起到了一定的限制作用。宽壁板的最大变形大于窄壁板相应位置的最大变形,证明了宽厚比大的板件抵抗局部屈曲的能力弱于宽厚比小的板件。屈曲后壁板间的夹角保持直角,壁板的交线仍保持直线。这种失稳模态与试验所得失稳模态基本相同,只是试验模型在横隔板上下的变形为反向,而计算所得模态为同向变形。由于实际模型和计算模型初始缺陷的差异,会对计算结果有所影响。此外,实际模型中残余应力和加载偏心的存在,对结构的稳定计算也存在一定影响。
(3)壁板的横向变形
计算所得壁板发生局部失稳部位的荷载与横向变形的关系曲线见图3.42一图3.43, 由于对称,只选其中两块壁板(一块宽壁板,一块窄壁板)进行分析,图中同时绘出了试验中发生局部屈曲部位的荷载与横向变形的关系曲线以示对比。
图3.42宽壁板荷载一横向变形曲线图3.43窄壁板荷载一横向变形曲线
由图3.42一图3.43可以看出,计算所得宽壁板与窄壁板的横向变形变化规律比较一致,荷载与变形均以线性关系开始增长,随荷载的不断增大,两者表现出非线性的关系,荷载的微小增量都会引起位移的较大增长,直到结构被压溃。通过试验值与计算值的对比可以看出,不管是宽壁板还是窄壁板,其凸曲部位和凹曲部位的荷载一横向变形变化规律都基本吻合,说明该模型可以反映出结构局部失稳的变形特点。计算所得结构发生破坏时的变形小于试验值,这是由于实际结构的初始缺陷难以测得,虽然模型在计算时计入了该影响,但只是对可能存在情况的一种假设,故而造成变形值的不一致,同时也导致了试验曲线和计算曲线还存在不完全一致之处。但是,总体来说,计算得到的荷载一横向变形曲线还是能够较好地反映出结构实际荷载和横向变形的变化关系,可以为钢桥塔的局部稳定研究提供参考。
(4)壁板的应变(应力)分布
为了分析壁板在发生失稳破坏前后的轴向应变分布,分别绘出壁板局部屈曲部位在达到极限荷载前(1406kN)和极限荷载(2405kN)时的轴向应变,见图3.44和图3.45,图中横坐标为计算单元沿壁板宽度的分布情况(即单元在壁板宽度的相对位置),从壁板边缘至壁板中心,由于对称,只给出壁板一半宽度的应变分布情况。第三章矩形截面钢桥塔局部稳定试验研究单元沿壁板宽度的分布单元沿壁板宽度的分布
图3.44壁板凸曲部位轴向应变分布
图3.45壁板凹曲部位轴向应变分布
3.44和图3.45中可以看出,在达到极限荷载前,壁板凸曲和凹曲部位
的轴向应变分布都比较均匀,各处受力基本相同。达到极限荷载时,由于发生了局部屈曲而使应变分布发生了变化:对于局部凸曲部位,变形最大的壁板宽度中心处,弯曲拉应变的增大使轴向应变由压应变变为拉应变。而壁板角部没有发生弯曲变形,随着荷载的增加,轴向压应变一直增大,直到达到极限荷载。对于局部凹曲部位,壁板角部应变和中部应变始终保持压应变,壁板中部凹曲变形产生的弯曲压应变使中部应变较角部应变增大,壁板中部承担荷载的能力逐渐减弱,而将荷载转移到承载能力较强的角部,当角部不能再继续承担荷载时,结构发生破坏。计算所得壁板轴向应变分布规律与试验所得规律一致,计算模型较好地反映了实际结构局部失稳的破坏机理。
图3.46为计算得到的结构极限状态时的轴向应力分布云图,结构的应力分布规律与应变分布规律相同,结构屈曲前,应力分布比较均匀,随荷载增大,壁板产生了弯曲变形,应力重新分布,此不赘述。图3.47为模型的Von.Mises应力云图,从图中可以看出,模型发生破坏时,除了发生局部凸曲的部位,其余大部分地方都已进入或接近塑性阶段。
图3.46壁板轴向应力分布云图(MPa) 图3.47壁板Von.Mises应力分布云图(MPa)
范文二:青干河大桥施工阶段的第一类稳定分析
青干河大桥施工阶段的第一类稳定分析
宋萍
太原(山西省交通科学研究院, 山西 030006)
摘要: 采用大型有限元程序 ANSYS, 对某中承式钢管混凝土拱桥施工阶段进行了第一类
稳定分析, 对各施工阶段稳定安全系数进行了分析和对比。
关键词: 钢管混凝土; 拱桥; 有限元; 空间稳定
中图分类号:文献标识码: A 文章编号: 1006- 3528(2008)01- 0064- 02 U441
础是分支点稳定理论, 只能用于理想结构, 不能考虑 青干河大桥概况1 各种初始缺陷的影响。但是拱的第一类稳定问题力
学情况单纯明确, 它的临界荷载近似地代表第二类 青干河大桥位于三峡库区湖北省姊归县长江南[2]。所以无论在理论分析中还是在工 稳定问题的上限岸沙镇溪镇, 大桥桥位地质情况良好。桥面净空为净 程应用中, 都有一定的实用价值。 - 9 附 2×1.0 m 人行道。设计荷载为汽车- 20 级、挂 2.2 计算模型的建立 车- 100 级, 孔径布置为 20 m+ 256 m+ 20 m+16 m, 采用 ANSYS8.0 建立了青干河大桥的模型, 按 其中主跨为 256 m 的中承式钢管混凝土拱, 边跨为 , 全桥 照施工设计图在构件的交接处设置空间节点
共建立 1 580 个节点、3 853 个单元。计算中使用的 2 孔 20 m 和 1 孔 16 m 钢筋混凝土简支 T 梁, 全桥
元 类 型 有 3 维 梁 单 元 BEAM44、 三 维 杆 单 元 单 桥面连续。LINK8 。钢管混凝土构件的刚度与承载力按文献 主拱肋每肋为 4- φ1 000 钢管混凝上构件。用 [3- 5]处理; 对于混凝土缀板及钢缀板建模时仅考虑 缀板(厚度为 12 mm 的 16 Mn 钢板)、竖向腹杆(φ500 了其横桥向刚度, 为桥梁预留了一定的安全储备。图 × 12 空钢管)及缀条(厚度为 12 mm 的 16 Mn 钢板) 1 和图 2 为建成后的模型立面图和三视图。 连接成钢管混凝土格构柱。拱轴线是以悬链线为基
础的 3 次样条曲线。矢跨比 f /l = 1/4. 945,沿拱轴线
采用变高度(拱顶 H= 2.4 m、拱脚 H=4. 482 m) , 等宽
度截面(b = 2. 4 )。两条主拱肋肋间中心距 11.6 m, 沿
桥梁纵向共设置 17 道横撑和 12 道 X 型撑。每撑(横
撑和 X 型撑) 均为用 φ500×12 及 φ299×10 的空
钢管构成的桁式梁。图 1 立面图
结构稳定计算方法2
2.1 第一类稳定理论
第一类稳定理论是假定结构和材料均是弹性
的, 结构的内力与外荷载成比例关系, 把结构的稳定
, 得出的最小特征值就 分析转化为求解特征值问题[1]。第一类稳定问题的控制方程为: 是失稳临界荷载
图 2 三视图 [K]+λ[K] =0, (1) σ
式中: [K]为弹性刚度矩阵; [K]为结构总体几何刚度 稳定计算结果与分析3 σ
矩阵, 只与构件的轴向力有关; λ为荷载稳定系数。 根据青干河大桥的设计说明书, 划分了 6 个主
, 概念清楚, 但它的理论基 第一类稳定计算简便要施工工况, 其中工况 3、4、5 根据灌注混凝土的顺
收稿日期: 2007- 11- 06; 修回日期: 2007- 12- 19
2008 年第 1 期宋 萍: 青干河大桥施工阶段的第一类稳定分析 ?65?
表 2 施工阶段第一类稳定安全系数 序又细分了 3 个施工工况。详细情况如表 1 所示。其
中灌注钢管内的混凝土时采用了先下弦后上弦、先 工况稳定安全系数工况稳定安全系数
内侧后外侧的顺序。1 12.394 00 4- 2 6.083 58
2 12.586 39 4- 3 4.720 50 施工阶段列表 表 1 3- 1 11.947 58 5- 1 6.278 98 钢管骨架合拢, 形成两铰拱 工况 1 3- 2 8.629 81 5- 2 4.918 64 封拱脚, 完成由两铰拱到无铰拱的转换 工况 2 3- 3 7.390 90 5- 3 4.319 49 40 m 浇注上、下缀板内混凝土的左、右拱脚附近各 工况 3- 1 水平距离段4- 1 11.149 93 6 6.486 13
浇注上、下缀板内混凝土的跨中左、右各 40 m 水 平 工况 3- 2 距离段 图 3 列出了第一类稳定安全系数随施工阶段变 浇注剩余的缀板内的混凝土工况 3- 3 化的曲线。根据表 1 及图 3 可得出以下结论:浇注内侧上、下弦共 4 根钢管内混凝土的左、右拱脚 工况 4- 1 a) 第一类稳定安全系数的最大值发生在第 2 个 附近各 40 m 水平距离段 浇注内侧上、下弦共 4 根钢管内混凝土的跨中左、右 工况 4- 2 各 40 m 水平距离段施工阶段, 封拱脚阶段稳定安全系数为 12.586 39; 工况 4- 3 浇注剩余的内侧上、下弦共 4 根钢管内的混凝土 第一类稳定安全系数的最小值发生在 5- 3 施工阶 浇注外侧上、下弦共 4 根钢管内混凝土的左、右拱脚 工况 5- 1 段, 即灌注外侧混凝土的第 3 个阶段, 稳定安全系数 附近各 40 m 水平距离段
为 4.319 49. 浇注外侧上、下弦共 4 根钢管内混凝土的跨中左、右工况 5- 2 各 40 m 水平距离段 b) 各施工阶段第一类稳定安全系数结果都满足 工况 5- 3 浇注剩余的外侧上、下弦共 4 根钢管内的混凝土“第一类稳定安全系数大于 4”的安全评价标准。 安装拱上立柱、吊杆、纵梁、横梁工况 6 c) 3 ( 个灌注混凝土阶段即灌注缀板混凝土、内 通过全桥有限元模型 1 对各施工阶段进行第一 ) 稳定安全系 侧钢管混凝土和外侧钢管混凝土阶段类稳定计算, 其稳定安全系数见表 2 。
[2] 陈宝春.钢管混凝土拱桥设计与施工[M].北京: 人民交通 数呈降低趋势, 灌注完成后, 进入下个施工阶段时,
出版社, 1999. 由于计入了上个施工阶段混凝土的强度值, 稳定安
赵雷.龙潭河大桥施工阶段非线性稳定分析[J ].中南公路 全系数有所提高。[3] 工程, 2000, 25 (3) : 35- 38. d) 整个施工阶段的第一阶屈曲模态均为面外失
稳。钢 管 混 凝 土 结 构 设 哈尔滨建筑工程学院.CECS 28 :90 [4]
计与施工规程[S].北京: 中国计划出版社, 1990.
张圣强, 王锋君, 赵长军.浙江三门健跳钢管混凝土拱桥 参考文献: [5] 空间稳定性分析[J].公路交通技术, 2001(2):29- 31. [1] 项海帆 .高等桥梁结构理论[M].北京: 人民交通出版社,
2002.
The Stability Analysis of Qinggan River Br idge in the Constr uction
SONG Ping
(Shanxi Pr ovincial Resear ch Institute of Communications,Taiyuan,Shanxi 030006,China)
Abstr act: The paper analyzed the stability of the construction process of steel tube concrete by ANSYS program. Then ,the coefficient of stability of the construction process are listed and compared.
Key wor ds: steel tube concrete;arch bridge;finite element ; spatial stability
范文三:第一类越流补给非稳定流公式的性态分析
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn
第一类越流补给非稳定流公式的性态分析 作者:方贝 刘元会 郭建青
来源:《南水北调与水利科技》 2015年第 05期
摘要:在原始数据具有随机误差的情况下,利用第一类越流补给含水层条件下的汉土什公 式进行正逆问题计算时,公式本身对误差具有传递作用。采用数学方法推导出了用于描述汉土 什公式性态的条件数,建立了正逆问题计算结果误差与原始数据误差间的近似关系。据此,得 出了计算过程中不同的 u 和 r/B值对原始数据所具有的随机误差的传递作用,绘制了相应的描 述传递作用强弱的条件数的变化曲线,从而确定了正逆计算问题属于 “ 病态 ” 时的 u 和 r/B取值 范围。
关键词:汉土什公式;正逆问题;条件数;公式性态;误差传递;近似关系;变化曲线 中图分类号:P641; TV 211.12 文献标志码:A 文章编号:16721683(2015) 05095904 Performance analysis of unsteady flow equation with first kind of leakage recharge
FANG Bei1, LIU Yuanhui1, GUO Jianqing2
(1.College of Science, Chang′an University, Xi′an 710064, China ;
2.School of Environmental Science & Engineering, Chang′an University, Xi′an 710051, China )
Abstract:When the original data has random errors, the Hantush equation for the first kind of leakage aquifer system can transfer the errors when it is used in the calculations of the direct and inverse problems.The conditional numbers to characterize the performance of Hantush equation have been derived, and the approximate relationship between the errors from the calculated results and errors from the original data is determined for the direct and inverse problems.On the basis, the transfer effects of different u and r/B values on the random errors from the original data are
obtained , the variation curves of conditional numbers for characterization of the transfer effects are plotted , and the scopes of u and r/B values are determined when the direct and inverse problems have “bad performance”.
Key words:Hantush equation; direct and inverse problems; conditional numbers; equation performance ; error transfer; approximate relationship; variation curve
在第一类越流系统中,通常采用汉土什公式分析抽水试验数据,确定越流含水层的水文地 质参数 [1],其形式简单,故在实际计算中得到了广泛应用。把在抽水过程中,采用已知含水 层水文地质参数计算含水层的水位降深值的问题称为正计算问题;而采用抽水过程中观测到的
范文四:青干河大桥施工阶段的第一类稳定分析
1青干 河大 桥概 况
青 干河 大桥 位于 三峡 库区 湖北 省姊归 县长 江南
岸 沙镇 溪镇 , 大桥 桥位 地质 情况 良好 。 桥 面净 空为 净
-9附 2×1.0m 人 行道。 设计 荷载为汽 车 -20级、 挂
车 -100级 , 孔 径 布置 为 20m+256m+20m+16m , 其 中主 跨为 256m 的中 承式 钢管 混凝 土拱 , 边 跨为
2孔 20m 和 1孔 16m 钢筋 混 凝土 简 支 T 梁 , 全桥
桥 面连 续。
主 拱 肋每 肋为 4-φ1000钢 管混 凝 上构 件 。用 缀 板 (厚 度为 12mm 的 16M n 钢板 ) 、 竖向 腹杆 (φ500
×12空 钢管 ) 及 缀 条 (厚 度 为 12mm 的 16M n 钢板 )
连 接成 钢管 混凝 土格 构柱 。拱 轴线 是以悬 链线 为基 础 的 3次样 条曲 线。矢 跨比 f /l=1/4.945, 沿 拱轴线 采 用 变 高度 (拱 顶 H=2.4m 、 拱脚 H=4.482m) , 等宽 度 截面 (b=2. 4) 。 两 条主 拱肋 肋间 中心 距 11.6m , 沿 桥 梁纵 向共 设置 17道 横撑 和 12道 X 型撑 。 每撑 (横 撑 和 X 型 撑 ) 均 为 用 φ500×12及 φ299×10的空 钢 管构 成的 桁式 梁。
2结构 稳定 计算 方法 2.1
第一 类稳 定理 论
第 一 类 稳 定 理 论 是 假 定 结 构 和 材 料 均 是 弹 性
的 , 结 构的 内力 与外荷 载成 比例 关系 , 把 结构 的稳定 分 析转 化为 求解 特征 值问 题 , 得出 的最小 特征 值就 是 失稳 临界 荷载 [1]。第 一类 稳定 问题 的控 制方 程为 :
[K]+λ[K]σ=0,
(1)
式 中 :[K]为 弹性 刚度 矩阵 ; [K]σ为 结构 总体 几何 刚度 矩 阵 , 只 与构 件的 轴向 力有 关 ; λ为 荷载 稳定 系数 。
第 一类 稳定 计算 简便 , 概念 清楚 , 但它 的理 论基
础是 分支 点稳 定理 论 , 只 能用 于理 想结 构 , 不能 考虑 各种 初始 缺陷 的影 响。 但是 拱的 第一 类稳 定问 题力 学 情况 单纯 明确 , 它的 临 界荷 载近 似 地代 表 第 二类 稳定 问题 的上 限 [2]。 所以 无论 在理 论分 析中 还是 在工 程应 用中 , 都 有一 定的实 用价 值。
2.2计 算模 型的 建立
采 用 ANSYS8.0建 立了 青 干 河 大 桥 的 模 型 , 按
照施 工设 计图 在构 件的 交接 处设 置空 间节 点 , 全桥 共建 立 1580个节 点、 3853个 单元 。 计算 中 使用 的 单 元 类 型 有 3维 梁 单 元 BEAM 44、 三 维 杆 单 元
L INK8。 钢 管 混 凝 土 构 件 的 刚 度 与 承 载 力 按 文 献 [3-5]处 理 ; 对于 混 凝土 缀 板及 钢 缀 板建 模 时 仅考 虑
了其 横桥 向刚 度 , 为桥梁 预留 了一 定的 安全 储备 。 图
1和图 2为 建成 后的 模型 立面 图和 三视图 。
图 1立面图
图 2三视图
3
稳定 计算 结果 与分析
根据 青干 河大 桥的 设计 说明 书 , 划分 了 6个主
要施 工工 况 , 其中 工况 3、、 5根 据灌 注混 凝土 的顺
青 干 河 大 桥 施 工 阶 段 的 第 一 类 稳 定 分 析
宋
萍
(山西 省交 通科 学研 究院 , 山西 太原
030006)
摘 要 :采用 大型 有限 元 程序 ANSYS, 对 某中 承式 钢 管混 凝土 拱 桥施 工阶 段进 行 了第 一类 稳定 分析 , 对各 施工 阶段 稳定安 全系 数进 行了 分析 和对 比。
关 键词 :钢 管混 凝土 ; 拱桥 ; 有限 元 ; 空 间稳 定 中 图分 类号 :U441
文 献标 识码 :A
文 章编 号 :1006-3528(2008) 01-0064-02
收稿日期 6; 修回日期 作者简介 宋
萍 (3—
), 女 , 山西长治人 , 工程师 , 年毕业于西安公路交通大学。
第 1期 (总第 190期 ) 山 西交 通科 技 No.1
2008年 2月 SHANXI SCIENCE &TECHNOLO GY of COMMUNICATIONS Feb.
4:2007-11-0:2007-12-19:1971999
范文五:稳定求解第一类Fredholm积分方程的一个方法
稳定求解第一类 Fredhol m 积分方程的一个方法
王德明
( )哈尔滨工业大学 数学系 ,黑龙江 哈尔滨 150006
摘要 : 为了得到第一类 Fredholm 积分方程稳定的数值解 ,对 p 个不同的光滑因子 , 分别利用光滑化方法求解 , 可得 到 p 组带有光滑因子的稳定解. 然后利用外插值的方法 ,外推得到光滑因子为零时的积分方程的稳定解 . 通过数值 算例表明 ,该方法是稳定求解第一类 Fredholm 积分方程的一个有效途径.
关键词 : 积分方程 ; 光滑化方法 ; 外插值方法
() 文章编号 : 0253 - 374 X200610 - 1414 - 03 中图分类号 : O 241 . 7 . 82 文献标识码 : A
A St a ble Metho d fo r Calculating Fre dholm Int e gral
Equatio n of Fir st Kind
W A N G De m i n g
()Depart ment of Mat hematics , Harbin Instit ute of Technology , Harbin 150006 ,China Ab stra ct : To o btain t he stable solutio ns of t he Fredholm integral equatio n of t he first kind , t he smoot h met ho d wit h p smoot h f acto rs is used. The stable solutio ns of t he integral equatio n are o btained by t he ext rapolatio n met ho d w hen t he smoot h f acto r equals to zero . Examples show t hat t he met ho d is feasi2 ble and effective , fo r calculating t he Fredholm integral equatio n of t he first kind. Ke y wo rd s : integral equatio n ; smoot h met ho d ; ext rapolatio n met ho d
α在实际问题中 ,有很多的数学物理问题的求解 , < 1="" ,="" 借助于光滑化方法="" ,="" 得到="" p="" 组积分方程的不="" p="">
最后总要归结为一个第一类 Fredholm 积分方程的 α同的稳定解 . 其中 ,不充分接近零. 然后进行外推 1
α插值 , 得 = 0 时的稳定解 . 通过典型的数值模拟算 求解问题 . 然而 ,由于这一类问题在离散求解时是不
稳定的 ,使得在实际问题的求解过程中 ,很难得到令 例 , 说明该方法是可行和有效的.
人满意的结果 . 以往解决问题的方法主要有正则化
理论方法1 ,3 1 方法和光滑化方法等. 但这些方法都需要一个
α α人为的控制因子 ?0 , 当因子 不充分接近零时 , 不考虑第一类 Fredholm 积分方程 α同的 值 , 将得到不同的稳定解. 在实际中 , 很难 得b ( ) ( ) ( ) ? < y="">< -="" a="" x="" ,="" y="" f="" x="" d="" x="g" y="" ,αα到最佳的="" 值的判断准则="" .="" 当因子="" 充分接近零="" 时="" ,="" a="">
( )1 问题的求解又变成不稳定的 , 所以本文的目的是 要
() 对式 1离散化 ,取复化梯形公式 ,有 α得到 = 0 时的稳定解 .
αα本文提出利用 p 个光滑因子 0 <><>< 1="" 2="">
收稿日期 : 2005 - 03 - 25
n - 1 (α ) α ( α ) 1 式中 : f 为对应于 = k = 1 , 2 , ?, p 时 式 k k ( ) ( ) ( ) ( )hA x , y f a+ h A x , y f x + 0 j i j i ? 2 i = 1 ( ) (α) 4的解 ; l 为插值函数 , 且 k
p 1 α α - i)( ) ( ) ( )( 2 hA x , y f b= g y n j j (α)l = k ?2 α α-i = 1 i k i ?k b - a ; x = a + i h , i = 0 , 1 , 2 , ?, n ; y ?其中 : h = 1 i j ( p) n (α) (ξ) ω (α)E =f p p ! ( ) - ?, + ?, j = 1 , 2 , ?, m , m ?n + 1 . ( p) (ξ) , f 为截断误差 其中 ( ) 为了讨论方便 , 将式 2记为 p 9 ( ) ( )p3 Af = g ξ ( α )(ξ) (α), ? 0 , f = f p pααξ9 = 其中
ξ注意 , 这里 对应向量函数 f 的每个元素应是 ) ( A ) ( hA x , y , = a, a= i j ( ) j i m ×n +1ij
不同的 ; i = 1 , 2 , ?, n - 1 , j = 1 , 2 , ?, m
ω(α)(α α) (α α) (α α)= - - ?- p 1 2 p 1 1 ( ) ( ) aa= hA x , y ,= hA x , y , j nj00 j n j 22 α 所以 , 当 = 0 时 , 有
p j = 1 , 2 , ?, m ( )(α) ( ) ( )( )f 0 = f l 0+ E 06 k k T ? ) ( f = f , f , ?, f , ( ) k = 1 f = f x , 0 1 n i i
其近似解为 i = 0 , 1 , 2 , ?, n p T ) ( ) ( g = g, g, ?, g , g= g y , 1 2 m j j ( )( ) (α ) = f l 07 f k k ? k = 1 j = 1 , 2 , ?, m 误差为 ( ) 即式 3为线性代数方程组. 为了稳定求解式 p ( ) - 1 ( ) p( )(ξ)αα( )α= E 0 f ? 8 () () p 12 3,利用光滑化方法的思想 ,式 3可转化为下面的 p ! 方程组 ( ) ( ) 这样 , 式 7就是积分方程 1的稳定近似解 . 只 T T ( α) ( )A A + Hf = A g 4 ( )p ( ) 要某种范数意义下 ‖f ‖有界 , 则 ‖E 0‖?0 . α( ) 其中 :?0 , 1称为光滑因子 ; ( ) 当 p ??时 , 即式 7的近似解 f 收敛于惟一的函数 H =
( ) ( ) α向量 f 0. f 0就是要找的当 = 0 时的积分方程 1 - 2 1
- 2 5 - 4 1 的稳定近似解 .
6 - 4 1 1 - 4
2 数值模拟计算 ? ?
6 4 1 - 1 - 4
为了检验方法的可行性和适用性 ,首先生成数 - 4 5 2 - 1 3 () 据 ,即先给定积分方程的解函数 f x 准确形式 , - 1 2 1 ( ) ( )n +1×n +1
( ) ( ) ) ( 称之为光滑矩阵. 利用方程 1或 2, 计算出方程的右端项 g y , j j
α ( ) 一般地 ,越 大 , 求 解 式 4 越 稳 定 , 但 精 度 越 ( ) = 1 , 2 , ?, m . 然后 , 利用已知的右端项 g y , 采用 j
α( ) ( ) 差 ;越小 , 方程 4越接近方程 3, 也就是越精确 ( ) ( ) 文中的方法 , 求解积分方程 1, 得到的结果 f x i
3 地满足所需要求解的问题 , 但求解的稳定性越差 . 特 ( ) 再与 f x 比较 , i = 0 , 1 , 2 , ?, n . 另外 , 为了说明 i
α别是当 = 0 时 , 其结果是严重失真的 . ( ) 方法的适用性 , 在生成数据 g y 中 ,适当加以人为 j
α 笔者的目的是找到当 = 0 时的稳定解 , 该解 的干扰误差 ,以模拟实际数据中的测量误差. 以下的
是光滑化方法求解第一类积分方程的最佳稳定解 . 例子中 ,均加以 0,1 %的随机误差 . x 3 y 3 αααα( α 设 0 <><><>< 1="" ,="" 且当="i" =="" 1="" ,="" 1="" 2="" p="" i="" (="" )="" 例="" 1="" 核函数为="" a="" x="" ,="" y="++," 10="" 210="" 2="" )="" (="" )="" (="" α2="" ,="" p时="" ,="" 式="" 4的解是稳定的="" 这只需="" 不充分="" 1="" 1="" 3="" ()="" (="" )="" )="" )="" x="α" f="" 接近于零就可作到,="" 则对任意="" 0="" ,="" 1,="" 式="" 4的="" ,="" x="" -="" 5="" ,="" 5="" .="" 21="" +="" x="" 解可应用="" l="" agrange="" 插值="" ,有="" 10="" α)(α)="" (α)="" (α)="" (="" )(f="f" l="" +="" e="" 5="" p="" x="-" 5="" +="" i="" ,x="" ,k="" k="" y="i" i="" -="" 1="" i="" k="1">
ααy = x . i = 1 , 2 , ?, n , 取 n = 10 , m = 11 , = 0 . 000 01 , = n n +11 2
α0 . 000 02 ,= 0 . 000 03 , 计算结果见表 2 所示. αα取 n = 10 , m = 11 ,= 0 . 001 ,= 0 . 003 , 计算3 1 2
αα 例 3 在例 2 中取 n = 10 , m = 11 ,= 0. 000 1 ,结果见表 1 所示. 1 2
2 3 例 2( ) ( ) 核函数为 A x , y = sinx y , f x = = 0. 000 2. 计算结果见表 3 所示.
π. co s x , x ? 0 . 1 , 2
表 1 例 1 的计算结果
Ta b. 1 Calculating results of instance 1
x - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 i 3 ( )0 . 038 5 0 . 058 8 0 . 100 0 0 . 200 0 0 . 500 0 1 . 000 0 0 . 500 0 0 . 200 0 0 . 100 0 0 . 058 8 0 . 038 5 f x i f - 0 . 340 3 - 0 . 049 5 0 . 229 8 0 . 501 1 0 . 716 0 0 . 690 9 0 . 414 2 0 . 214 7 0 . 096 4 0 . 058 3 0 . 090 1 i
表 2 例 2 的计算结果
Calculating results of instance 2 Ta b. 2
x 0 . 100 0 0 . 247 1 0 . 394 1 0 . 541 2 0 . 688 3 0 . 835 4 0 . 982 5 1 . 129 5 1 . 276 6 1 . 423 7 1 . 570 8 i3 ( )f x 0 . 995 0 . 969 6 . 923 3 . 857 1 . 772 3 . 670 9 . 555 0 . 427 1 . 290 0 . 146 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i
1 . 107 0 1 . 021 9 0 . 936 8 0 . 850 6 0 . 761 1 0 . 665 1 0 . 554 3 0 . 429 8 0 . 293 1 0 . 147 9 - 0 . 004 6 f i
表 3 例 3 的计算结果
Ta b. 3 Calculating results of instance 3
x 0 . 100 0 0 . 247 1 0 . 394 1 0 . 541 2 0 . 688 3 0 . 835 4 0 . 982 5 1 . 129 5 1 . 276 6 1 . 423 7 1 . 570 8 i3 ( )0 . 995 0 . 969 6 . 923 3 . 857 1 . 772 3 . 670 9 . 555 0 . 427 1 . 290 0 . 146 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f x i
f 1 . 121 1 1 . 031 8 0 . 942 4 0 . 852 3 0 . 759 6 0 . 661 1 0 . 552 6 0 . 430 8 0 . 294 8 0 . 147 8 - 0 . 004 6 i
α求函数对 的高阶导数有界 , 则本文的近似解收敛
( ) 于唯一的函数向量 f 0. 3 讨论
:参考文献 数值模拟研究的结果表明 ,本文的方法是可行
的 .
1 Phillip s D L . A technique fo r t he numerical solutio n of certain inte2 () 1当所求的函数分布比较光滑时 ,方法的精
( ) gral equatio ns of t he first kindJ . J ACM , 1962 9:84 . 度是较高的 ,其结果令人满意. 但当所求的函数分布 Tikho nv A N , Arenin V Y. Solutio ns of ill2po sed p ro blems M . 2
的光滑程度较低时 ,精度一般比较差 . 所以 ,本方法 New Yo r k :Jo hn Wiley & So ns ,1977 .
3 沈云中 ,许厚泽. 基于积分方程正则化的重力异常超定问题解 仅适用于待求的函数是比较光滑的情况.
( ) 法J . 同济大学学报 :自然科学版 ,2002 ,30 11:1337 . () 2方法中对光滑因子的选取要求不高 ,只需 SHEN Yunzho ng , XU Ho uze . Over2deter mined mo del fo r co m2 α不充分接近于零 , 就可得到满意的结果 . 并且选 1 p uting gravit y ano maly based o n regularizatio n solutio n of discrete
ααα取不同的光滑因子组 ,, ?,, 所得到的结果 是1 2 p integratio n equatio n J . Jo urnal of To n gji U niversit y : Nat ural
( ) Science ,2002 , 30 11:1337 . 非常接近的. 所 以 , 本 方 法 在 实 际 应 用 时 是 可 靠
()编辑 :曲俊延 的 .
() 3通过对插值的截断误差分析可知 , 只要待
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