范文一:D.三角函数 b.正弦型函数 1.图像变换 ②伸缩
1. 标签:正弦型函数图像变换伸缩、平移
【易】 (2016届高三上学期 华附、省实、广雅、深中四校联考) 函数 πsin 6y x ??=+ ???图像上各点的横坐标缩短到原来的 12倍(纵坐标不变) ,右平移 π3
个单位,那 么所得图像的一条对称轴方程为( ) A. π4x =- B. π2x =- C. π8x = D. π4
x = 【解析】 B .
2. 标签:正弦型函数图像变换伸缩、平移
【易】 (2015华附 月考) 把函数 πsin 6y x ??=+ ???图像上各点的横坐标缩短到原来的 12倍 (纵坐标不变) , 再将图像向右平移 π3
个单位,那么所得图像的一条对称轴方程为( ) A. π4x =- B. π2x =- C. π8x = D. π4
x = 【解析】
A .
3. 标签:正弦型函数图像变换伸缩、平移
【易】 (2015省实 周测)
由 ()y f x =的图像向左平移 π3
个单位,再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍得到 12sin 3π6y x ??=- ??
?的图像,则 ()f x 为( ) A. 312sin π26x ??+ ??? B. 12sin 6π6x ??- ??? C. 312sin π23x ??+ ??? D. 12sin 6π3x ??+ ??
? 【解析】 B .
4. 标签:正弦型函数图像变换伸缩、平移
【易】 (2016届高三上学期期末 华附、省实、广雅、深中四校联考) 函数 πsin 6y x ??=+ ??
?图像上各点的横坐标缩短到原来的 12倍(纵坐标不变) ,右平移 π3个单位,那 么所得图像的一条对称轴方程为( ) A. π4x =- B. π2x =- C. π8x = D. π4
x = 【解析】 B .
5. 标签:正弦型函数图像变换伸缩、平移
【易】 (2015执信 周测) 把函数 πsin 24y x ??=+ ??
?的图像向右平移 π8个单位,再把所得图像上各点的横坐标缩短到原来的 12, 则所得图像的解析式为( )
A. 3πsin 48y x ??=+ ??? B. πsin 48y x ??=+ ??
? C. sin 4y x = D. sin y x = 【解析】 C .
6. 标签:正弦型函数已知最值确定参数值 正弦型函数已知解析式求图像要素 正弦型函数图像变换
平移、伸缩
【易】 (2015执信 周练)
(本小题满分 12分) 已知向量 ()sin ,1m x =
, cos , cos 22A n x x ?=??
(0A >) , 函数 ()f x m n =g 的最大值为 6.
(I )求 A 的值
(II )将函数 ()y f x =的图像向左平移
π12
个单位,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来 的 12倍,纵坐标不变,得到函数 ()y g x =的图像,求 ()g x 在 5π0, 24??????上的值域及单调区间 .
【解析】 解 :
(1
) cos sin cos22
A m n x x x ?+u r r
sin 2cos 22
A A x x =+
12cos 22A x x ?=+????
πsin 26A x ??=+ ??
? ∵ max 6m n ?=u r r
∴ 6A =
(2) ()π6sin 26f x x ??=+ ??
? 左平移 π12, π6sin 213y x ??=+- ??? 横坐标缩短 12, π6sin 43y x ??=+ ??? ∴ ()π6sin 43g x x ??=+ ??
? 5π0, 24x ??∈???? ππ7π4, 336x ??+∈????,当 ππ432x +=时, π24
x =. ∴ ()max π624g x g ??== ???
范文二:正弦型函数图像变换
y =sin x 与y =A sin(ωx +?) 的图像关系
【学习目标】通过实例总结y =sin x 与y =A sin(ωx +?) 的图像关系;掌握由y =sin x 的图象得到y =A sin(ωx +?) 图像的变换方法。
【自主学习】通过阅读教材,完成下列变换的过程 1、在同一坐标系中作函数y =2sin x 与y =
1
sin x 的简图;
2
1将y =sin x 图像上各点的纵坐标到原来的,横坐标 据上图回答:○
即可得到y =2sin x 的图像;将y
=sin x 图像上各点的纵坐标 到原来的 ,横坐标y =
1
sin x 的图像; 2
2将y =sin x 图像上各点的纵坐标伸缩到原来的 ,横坐标 即可得到○
y =A si n x (A ≠0) 的图像
ππ
(x +2、在同一坐标系中作函数y =sin 与y =sin(x -) 的简图;
33
π1将y =sin x 的图像向 即得到函数y =sin (x +据上图回答:○的图象; 3将y =sin x 的图像向 即得到函数y =sin(x -
π
3
) 的图象;
2将y =sin x 的图像向 或
平移 个单位即得到函数y =sin ○的图象; (x +?)
1
3、在同一坐标系中作函数y =sin 2x 与y =x 的简图;
2
1将y =sin x 图像上各点的横坐标 到原来的 ,纵坐标 据上图回答: ○
即可得到y =sin 2x 的图像;将y =sin x 图像上各点的横坐标 到原来的 ,纵
1
坐标 即可得到y =x 的图像;
2
2将y =sin x 图像上各点的横坐标伸缩到原来的 ,纵坐标 即可得到○
y =si n ωx (ω>0) 的图像。
【合作探究】
2x +1. 根据以上的结论,请写出由y =sin x 的图象通过变换得到y =3sin(
π
3
) 的过程。
2. 根据以上的结论,请写出由y =sin x 的图象通过变换得到y =A sin(ωx +?) 的过程。
【收获总结】
【达标检测】请完成下列图象变换过程,将变换方法写在箭头上方、将变换得到的函数填在括号内。 1、y =sin x (
1
) y =sin x (
3
1
) y =2sin x
3y =4sin(x -
y =4sin x ( ) 2、y =sin x ( )
( )
π
3
)
3、y =sin x
y =sin y =sin (x +(2x + ( )
33
ππ
π
n 2x +2x y =s i (4、y =sin x y =s i n
3
【课后练习】
请完成下列图象变换过程,将变换方法写在箭头上方、将变换得到的函数填在括号内。
πn 2x -1、y =sin x y =s i n 2x y =s i (
3
x (-2、y =sin y =s i n
π
) y =s i (n 2x -
33
π
3、y =sin x y =5s i n x y =5s i n 3x
y =5sin(3x -
π
4
)
4、y =sin x y =5sin x y =5sin(x -
π
4
)
3x (- y =5s i n
π
4
)
11
s i x 23
5、y =sin x y =
1
sin x 2
y =
y =
11πs i x +) 236
3x (-6、y =sin x ) y =s i n
π
3
)
7、y =sin x ( ) ( )
3x -y =2sin(
π
4
)
8、y =4sin(x -
π
3
) y =s i n x (-
π
3
) y =s i n x
5x -( )y =sin(
π
7
)
范文三:正弦型函数图像变换
1.5正弦型函数y=Asin(ψx+φ)的图象变换教学设计
贺力光 2008212004
教学目标: 知识与技能目标:
能借助计算机课件,通过探索、观察参数A 、ω、φ对函数图象的影响,并能概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律;会用图象变换画出函数y =Asin(ωx +φ) 的图象。
过程与方法目标:
通过对探索过程的体验,培养学生的观察能力和探索问题的能力,数形结合的思想;领会从特殊到一般,从具体到抽象的思维方法,从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。
情感、态度价值观目标:
通过学习过程培养学生探索与协作的精神,提高合作学习的意识。
教学重点:考察参数ω、φ、A 对函数图象的影响,理解由y=sinx的图象到y =Asin(ω
x +φ) 的图象变化过程。这个内容是三角函数的基本知识进行综合和应用问题接轨的一个重要模型。学生学习了函数y =Asin(ωx +φ) 的图象,为后面高中物理研究《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识提供了数学模型。所以,该内容在教材中具有非常重要的意义,是连接理论知识和实际问题的一个桥梁。
教学难点:对y =Asin(ωx +φ) 的图象的影响规律的发现与概括是本节课的难点。因为
相对来说,、A 对图象的影响较直观,ω的变化引起图象伸缩变化,学生第一次接触这种
图象变化,不会观察,造成认知的难点,在教学中,抓住“
对图象的影响”的教学,使
学生学会观察图象,经历研究方法,理解图象变化的实质,是克服这一难点的关键。
教学环境:
普通多媒体教室,电脑上需要装有几何画板软件,以及Flash 播放器。
学情分析:
本节课在高一第二学期,学生进入高中学习已经有一学期了,对于高中常用的数学思想方法和研究问题的方法已经有初步的了解,并且逐步适应高中的学习方式和教师的教学方式,喜欢小组探究学习,喜欢独立思考,探究未知内容,学习欲望迫切。关于函数图象的变换,学生在学习第一模块时,接触过函数图象的平移,有“左加右减”,“上加下减”这样一些粗略的关于图象平移的认识,但对于本节内容学生要理解并掌握三个参数对函数图象的影
响,还要研究三个参数对函数图象的综合影响,且方法不唯一,知识密度较大,理解掌握起来难度较大。
教学内容分析:
三角函数是基本初等函数之一,是中学数学的重要内容。本节为普通高中课程标准实验教科书(必修4),三角函数中的第五小节,涉及了三角函数图象与性质的重要内容,是一节函数图象探究的重要范例,同样也是提高学生识图、画图、数形结合等能力的一次锻炼。本节内容是在学生已经理解振幅变换、相位变换和周期变换的基础上,通过作图、观察、分析、归纳等方法,形成规律,得出从函数象的变换规律。观察函数
、
、
的图象到正弦型函数y =Asin(ωx +φ) 图
、
、
图象间的关系,通过对比,探求有关性质以及图象的变换方法。鼓励学生大胆猜想,将直观问题抽象化,揭示本质,培养学生思维的深刻性。
利用计算机操作相关的课件,直观展示图象的变化,细致观察图象变化的数量,使学生学会观察。这就会使学生容易在学习的过程中把握图象变化的内在联系,进而理解本质的规律。首先对参数变化所引起的图象变化进行观察,获得参数对函数图象影响的大致感知,进而进行细致的量的变化的观察和分析,体现了对事物认识的螺旋式上升;从具体的函数出发,进而得出一般性的结论,体现了从特殊到一般,由感性到理性的过渡。
教学流程图:
教学过程:整个教学过程是“以问题为载体,以学生活动为主线”进行的。
(一)创设情境:
1. 动画演示: 《用沙摆演示简谐运动的图象》
2. 根据你的知识,你能解决函数哪些方面的问题?
学生分析:可以求这个函数的最小正周期、单调区间以及“五点法”作图。 教师追问:作出它的图象还有其他的方法吗?
【设计意图】复习回顾,直接切入研究的课题。(板书课题:函
数
的图象)
问题1:函数
学生思考,交流,正弦函数的特殊情况。
和我们熟知的正弦函数,有什么联系呢?
就是函数
在A=1,ω=1,
=0
【设计意图】采用《用沙摆演示简谐运动的图象》引出函数y =Asin(ωx +φ) 的图象,体现该函数图象与生活实际的紧密联系, 体现函数图象在物理学上的重要性,激发学生研究该函数图象的兴趣。引导学生思考y =Asin(ωx +φ) 与正弦函数的一般与特殊的关系,进而引导学生探讨正弦曲线与函数y =Asin(ωx +φ) 的图象的关系。
(二)建构数学 自主探究:
自主探究:由正弦曲线如何变化得到函数
①问题提出:三种变换能否任意排序?
②对于你们小组提出的变换方式,你要怎样解决你呢?
的图象?
【设计意图】观察函数解析式学生容易发现三个参数、、
都发生了变化,自然恰当地提出本节的核心问题——三种变换能否任意排序呢?
问题2:由正弦函数猜想(1
)猜想(2
)
图象如何变换得到函数
的图象?
【设计意图】
观察函数解析式,容易发现参数、都发生了变化,根据已有的知识基础,自然恰当地提出本节的核心问题:两种变换能否任意排序,最后确定研究方向。
A 、 自主实验,形成初步结论:小组合做,根据自己的兴趣在两种变换中选择一种进
行研究: 问题3:按照第一种方法由函数
按照第二种方法由函数
的图象如何变换到的图像如何变换到函数
的图象? 的图象?
学生投影回答,结合自己画的函数图像,说明变换方法。
①. 把图象。
的图象上的所有的点__左___平移 ___个单位长度,得到的
②. 再把标不变),得到③.
再把坐标不变)得到
的图象上各点的_横__坐标_缩短__
的图象。
的图象上所有点的_纵_坐标_伸长
_
的图象。
到原来的
__倍(_纵_坐
到原来的__3_倍(__横_
学生总结上述变换过程:相位变换
①. 把度,得到②. 再把
周期变换
振幅变换
平行移动
个单位长
的图象上的所有的点 向左
的图象。
或 向右
的图象上各点的_横_坐标__缩短_或_伸长_到原来
的__倍(_纵_坐标不变),得到的图象。
③. 再
把_
的图象上所有点的_纵_坐标_伸长
_
为原来的_A_倍(_横_坐标不变)得到
或_缩短
的图象。
B 、 深入探究,讨论分析: 预设问题:
教学的班级为普通班,根据以往的教学经验,如果只研究一种顺序,有的学
生会错误地认为由
的图象向左
平移个单位得到
的图
象,说明学生没有真正理解函数图象的变化是看坐标(x,y )的变化量。预想到学生会犯这个错误,为了让学生更好地理解图象变化的实质,我选择不同的小组汇报,进而追问:为什么会有这种不同呢?原因是什么?学生们可以通过观察坐标表格中横坐标的变化,发现平移量。或者通过观察图象,发现平移量。因为在方案ω—中,先进行了横向的伸缩,即横坐标变为了原来的移
个单位;从坐标和解析式上来看,点
式,也可以得到这个结论。
和
倍,所以向左平
分别满足两个解析
把的图象。
的图象上所有的点__向左_平移_
_
个单位长度,得到函数
问题4:第二种变换方法,平移量是,还是,为什么?
个单位;先
注意不同顺序中平移量的不同。先相位变换后周期变换时,需向左平移
周期变换后相位变换时,需向左平移个单位而不是个单位。平移量是由的改变量确定的。
学生总结第二种变换的规律:周期变换
相位变换
振幅变换
把y =sinωx 的图象上的所有的点 向左
个单位长度,得到y =sin(ωx +φ) 的图象。
或 向右
平行移动
对比两种变换过程说明:先相位变换后周期变换平移先周期变换后相位变换平移
个单位长度。
个单位长度。
【设计意图】使学生由正弦曲线变化得到函数y =Asin(ωx +φ)(A>0,ω>0)的图象的不同方案有一个整体的认识,并在掌握图象变化实质的基础上,择优选择。
(三)知识运用,巩固强化
练习:1、只需把函数数的图象。
的图象上所有点( A ),可以得到
函
A 、横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变。 B、横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变。
C 、纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变。 D、纵坐标缩短到原来的倍,横坐标不变。
2、为了得到函数A 、向左平移
的图象,只需把函数
的图象上所有点( B ) 个单位长度
个单位长度 B、向右平移
C 、向左平移3、把函数
个单位长度 D、向右平移个单位长度
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函
数
的图像,再把函数
的图象上所有点向右平移个单位,得到函
数
变式:把函
数
的图象。
图象上所有点向右平
移
的图象,再把函数
个单位长度,得到函
数
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐
标不变),得到函数
的图像。
【设计意图】练习及变式练习是对本节课重点和难点知识的巩固,通过学生
的回答, 可了解学生对于函数图像变换的“形”、“数”思维的形成过程是否得到落实。
(四)归纳交流
1、学生谈本节课的学习体会。
2、正弦函数y =sinx 的图象变换到函数y =Asin(ωx +φ) 的图象:顺序可任意,平移尺度要注意。
3、数学思想:数形结合、从特殊到一般思想、化归思想。
(五)巩固作业
课本P49/2(写在作业本上),P50/1(写在书上)
(六)学习效果评价设计
1.在学生动手实践、观察、思考问题的过程中,关注学生发现问题、解决问题的能力;并在进一步的学习过程中,观察学生的类比学习能力;
2.在各组共同学习、解决问题的过程中,观察学生合作交流、学习的能力; 3.对不同方案的对比学习中,了解学生把握事物本质的能力;
4.通过课堂活动与交流,了解学生对知识的掌握程度,通过反馈,对易错、易混的知识点,做出启发性的指导;
5.通过课堂小结,学生说出自己的收获,与别人分享学习数学的体会,激发学习数学的积极性,建立自信心。
范文四:正弦函数图像变换y=Asin(ωx+ )
正弦函数图像变换 y =Asin (ωx+?) 主备人:
教学目标:了解 ) sin(?ω+=x A y 的实际意义,会作函数 ) sin(?ω+=x A y 的图象,观察并研究参 数 ?ω, , A 对函数图象变化的影响,会用“五点法”画出函数 ) sin(?ω+=x A y 的简图。 重点难点:掌握 ?ω, , A 对函数图象变化的影响,会作 ) sin(?ω+=x A y 的简图。 【预习达标】
1.正弦函数 y =Asin (ωx+?) (∈x R ) (其中 A 、 ω、 ?为常数且 A ≠ 0 ω>0) (1) y =Asin (ωx+?)的周期 T =
频率 f =
=
初相为
(2) y =Asin (ωx+?)与 y =sinx 图象的关系
2.函数 y =Asinx 的值域是
最大值为 A ,最小值是
由此可知 A
的大小反映曲线 y =Asinx 的波动幅度的大小。把函数 y=sinx的图象所有点(当 ?>0)向
或(当 ?<>
平移
个 单 位 长 度 就 得 到 函 数 y =
sin(x+?) 的图象。
3.由 y =sinx 的图象通过变换得到的 y =Asin (ωx+?)的图象主要有两个途径:
(1)先平移后伸缩即 (2)先伸缩后平移即
【课前达标】 1.若 ??
?
?
??∈3, 6ππx 则函数 f(x)=2cos2x+sinx-1的值域是( ) A . [-1, 2]
B . [-2, 0]
C . ??
?
???-89, 21
D . ??
?
???-1, 213 2. y =sinx 的图象向左平移 4
π
个单位,再向上平移 2个单位,所得图象的函数解析式是( ) A . 2) 4sin(+-=πx y B . 2) 4sin(-+=π
x y
C . 2) 4sin(--=πx y D . 2) 4
sin(++=π
x y
3.已知函数 ) sin(?ω+=x A y 在一个周期内当 x =12π时,取得最大值 2,当 x =12
7π
时取得最小值
-2那么( )
A . ) 3
sin(21π
+=
x y
B . ) 3
2sin(2π
+
=x y
C . ) 6
2sin(2π
+=x y
D . ) 6
2sin(
2π
+=x y 4. 数 ) 321sin(
2π
+=x y 在一个周期内的三个“零点”横坐标为( ) A . 311353
πππ
- B . 3103432π
ππ-
C . 6236116
πππ
-
D . 3
5323π
ππ-
例 题 剖 析
例 1、画出下列函数的简图: (1) ) 3sin(π
-=x y (2) x y 2sin 1+= (3) ) 4
32sin(3π
+=x y
例 2、 (1)函数 ) 1sin(+=x y 的图象是由 x y sin =的图象如何变换而来?
(2)函数 x y sin 3=的图象是由 x y sin =的图象如何变换而来? (3)函数 x y 2sin =的图象是由 x y sin =的图象如何变换而来?
例 3、已知函数 ) 20, 0, 0() sin(π?ω?ω<>> +=A x A y 的最小值为 2-,周期是
3
2π
,且它的 图象过点 ) 2, 0(-,求此函数的解析式。
例 4. sin (ωx+?) (<π)的图象如图求 ω和="">π)的图象如图求>
正弦函数 y =Asin (ωx+?) 【双基达标】
1、已知函数 x y sin 3=的图象为 C 。 (1)为了得到函数 ) 5
sin(3π
-
=x y 的图象,只需把 C 上的所有点 ___________________; (2)为了得到函数 ) 5
2sin(3π
+=x y 的图象,只需把 C 上的所有点 ___________________;
(3)为了得到函数 ) 5
sin(4π
+=x y 的图象,只需把 C 上的所有点 ___________________;
2、 把 函 数 ) 32sin(π
+
=x y 的 图 象 向 右 平 移
6
π
个 单 位 , 所 得 到 的 图 象 的 函 数 解 析 式 为
_____________________,再将图象上的所有点的横坐标变为原来的 2
1
倍(纵坐标不变) ,则所得到
的图象的函数解析式是 _____________________。 3 函数 2
sin
x
y =的最小正周期是( ) A . 2π
B . π C . 2π D . 4π
4 y=sinx的单调增区间是( )
A . ) (22, 2
2z k k kx ∈???
??
?
+
-
πππ
B . ) (232, 22z k k kx ∈?????
?
++πππ C . []) (2, 2z k k k ∈-πππ
D . []) (2, 2z k k k ∈+πππ
5.函数 y=2sin(2x+
3
π
)的图象( ) A .关于原点成中心对称图形 B .关于 y 轴成轴对称图形
C .关于直线 6π
-
=x 成轴对称图形 D .关于直线 12π
=
x 成轴对称图形
6.已知函数 ) 0(sin
21>+=A A
x y π
的最小正周期为 3π则 A = 7.已知函数 ) 0, 00)(sin(π?ω?ω<>>+=A x A y 的图象两个相邻的最值点为() 2, 6
π
和 (
) 2, 3
2-π
则这个函数的表达式为 8.已知函数 y =Asin (?ω+x ) +C(A >0, ω>0, 2
π
<)在同一周期中最高点的坐标为(2, 2)="" 最低点坐标为(8,="" -4)求="" a="" 、="" ω、="" ?、="">)在同一周期中最高点的坐标为(2,>
9.作出函数 y =2sin(x-3
π
)+3的图象,并写出它的周期,频率,初相,最值及单调区间。 10关于 x 的函数 f(x)=sin(x+?) 有以下命题,其中假命题的序号
①对于任意 ?, f(x)都是非奇非偶
②不存在 ?使 f(x)既是奇函数又是偶函数 ③存在 ?与 f(x)是奇函数 ④对任意 ?, f(x)都不是偶函数
11函数 f (x ) =Asin (?ω+x ) (A>0,R x ∈>, 0ω) 在一个周期内的图象如图所示, 求直线 y =与函数 f(x)图象所有交点的坐标。
正弦函数 y =Asin (ωx+?) 巩固练习:
1.最大值是
21,周期是 32π初相是 6π的函数表达式是( ) A . y =) 63sin(21π+x B . ) 6
3sin(2π+=x y
C . ) 63sin(2π-=x y D . y =) 63sin(21π
-x
2.函数 ) 3
21sin(2π
+=x y 在一个周期内的三个“零点”横坐标为( )
A . 311353πππ- B . 3103432πππ-
C . 6236116πππ- D . 3
5323πππ-
3.函数 y =2sin ωx (ω>0)的图象与直线 y+2=0的相邻两公共点之间距离为 3
2π
则 ω= 。
4. y =2sinx 的单调增区间是( )
A . ) (22, 2
2z k k k ∈??
?
??
?+
-
πππ
π
B . ) (232, 2
2z k k k ∈??
?
??
?
+
+
πππ
π C . [2k π-π, 2k π]) (z k ∈
D . [2k π, 2k π+π]) (z k ∈ 5.函数 y =lg(cosx-sinx)的定义域是
6. 设 f(x)是定义域为 R , 最小正周期为 23π的函数若 f(x)=???
??
≤≤<>
0(sin ) 02
(cos ππx x x x 则 f(-π415) 的值等 于
7.为了使函数 y=sinωx (ω>0)在区间[0, 1]上至少出现 50次最大值则 ω的最小值是( )
A . 98π
B .
π2
197
C .
π2
199
D . 100π
8.函数 y=) 4
3
1sin(log 1π
+
x 的单增区间是
9,求下列函数的单调区间 (1) ) 3
24sin(21x y -=
π
(2) ) 4
sin(π
+
-=x y
10 函数 y =x cos 2的图象只需将函数 y =) 4
2sin(π
+
x 的图象上所有点的( )
A .横坐标缩短到原来的
21倍(纵坐标不变)再向左平移 8π
个单位长度 B .横坐标缩短到原来的 21倍(纵坐标不变)再向右平移 4
π
个单位长度
C .横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)再向左平行移动
4π
个单位长度 D .横坐标伸长到原来的 2倍(纵坐标不变)再向右平行移动 8
π
个单位长度
范文五:《正弦函数图像变换》教学设计
1.5正弦型函数y=Asin(ψx+φ)的图象变换教学设计
精河县高级中学 韩英
教学目标:
知识与技能目标:
能借助计算机课件,通过探索、观察参数A 、ω、φ对函数图象的影响,并能概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律;会用图象变换画出函数y =Asin(ωx +φ) 的图象。
过程与方法目标: 通过对探索过程的体验,培养学生的观察能力和探索问题的能力,数形结合的思想;领会从特殊到一般,从具体到抽象的思维方法,从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。
情感、态度价值观目标:
通过学习过程培养学生探索与协作的精神,提高合作学习的意识。
教学重点:考察参数ω、φ、A 对函数图象的影响,理解由y=sinx的图象到y =Asin(ωx +φ) 的图象变化过
程。这个内容是三角函数的基本知识进行综合和应用问题接轨的一个重要模型。学生学习了函数y =Asin(ωx +φ) 的图象,为后面高中物理研究《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识提供了数学模型。所以,该内容在教材中具有非常重要的意义,是连接理论知识和实际问题的一个桥梁。
教学难点:对y =Asin(ωx +φ) 的图象的影响规律的发现与概括是本节课的难点。因为相对来说,、A 对
图象的影响较直观,ω的变化引起图象伸缩变化,学生第一次接触这种图象变化,不会观察,造成认知的难点,在教学中,抓住“
对图象的影响”的教学,使学生学会观察图象,经历研究方法,理解图象变化的实质,是克
服这一难点的关键。
学情分析:
本节课在高一第二学段,学生进入高中学习已经三个月,对于高中常用的数学思想方法和研究问题的方法已经有初步的了解,并且逐步适应高中的学习方式和教师的教学方式,喜欢小组探究学习,喜欢独立思考,探究未知内容,学习欲望迫切。关于函数图象的变换,学生在学习第一模块时,接触过函数图象的平移,有“左加右减”,“上加下减”这样一些粗略的关于图象平移的认识,但对于本节内容学生要理解并掌握三个参数对函数图象的影响,还要研究三个参数对函数图象的综合影响,且方法不唯一,知识密度较大,理解掌握起来难度较大。
教学内容分析: 三角函数是基本初等函数之一,是中学数学的重要内容。本节为三角函数图象与性质的重要内容,是一节函数图象探究的重要范例,同样也是提高学生识图、画图、数形结合等能力的一次锻炼。本节内容是在学生已经理解振幅变换、相位变换和周期变换的基础上,通过作图、观察、分析、归纳等方法,形成规律,得出从函数的图象到正弦型函数y =Asin(ωx +φ) 图象的变换规律。
观察函数
、
、
、
、
图象间的关系,通过对比,探求有关性质以及图象的变换方法。鼓励学生大胆猜
想,将直观问题抽象化,揭示本质,培养学生思维的深刻性。
利用计算机操作相关的课件,直观展示图象的变化,细致观察图象变化的数量,使学生学会观察。这就会使学生容易在学习的过程中把握图象变化的内在联系,进而理解本质的规律。首先对参数变化所引起的图象变化进行观察,获得参数对函数图象影响的大致感知,进而进行细致的量的变化的观察和分析,体现了对事物认识的螺旋式上升;从具体的函数出发,进而得出一般性的结论,体现了从特殊到一般,由感性到理性的过渡。
教学流程图:
教学过程:整个教学过程是“以问题为载体,以学生活动为主线”进行的。
(一)创设情境:
1. 动画演示: 《用沙摆演示简谐运动的图象》
2. 根据你的知识,你能解决函数哪些方面的问题?
学生分析:可以求这个函数的最小正周期、单调区间以及“五点法”作图。 教师追问:作出它的图象还有其他的方法吗?
【设计意图】复习回顾,直接切入研究的课题。(板书课题:函数
问题1:函数
学生思考,交流,正弦函数
和我们熟知的正弦函数,有什么联系呢?
就是函数
在A=1,ω=1,
=0的特殊情况。
的图象)
【设计意图】采用《用沙摆演示简谐运动的图象》引出函数y =Asin(ωx +φ) 的图象,体现该函数图象与生活实际的紧密联系, 体现函数图象在物理学上的重要性,激发学生研究该函数图象的兴趣。引导学生思考y =Asin(ωx +φ) 与正弦函数的一般与特殊的关系,进而引导学生探讨正弦曲线与函数y =Asin(ωx +φ) 的图象的关系。
(二)建构数学 自主探究:
自主探究:由正弦曲线如何变化得到函数①问题提出:三种变换能否任意排序?
②对于你们小组提出的变换方式,你要怎样解决你呢?
的图象?
【设计意图】
观察函数解析式
学生容易发现三个参数、
、都发生了变化,
自然恰当地提出本节的核心问题——三种变换能否任意排序呢?
问题2:由正弦函数
图象如何变换得到函数
的图象?
猜想(1
)猜想(2
)
【设计意图】
观察函数解析式,容易发现参数、都发生了变化,根据已有的知识基础,自然恰当地提出本节的核心问题:两种变换能否任意排序,最后确定研究方向。
A 、 自主实验,形成初步结论:小组合做,根据自己的兴趣在两种变换中选择一种进行研究: 问题3:按照第一种方法由函数
按照第二种方法由函数
的图象如何变换到的图像如何变换到函数
的图象? 的图象?
学生投影回答,结合自己画的函数图像,说明变换方法。
①. 把的图象上的所有的点__左___平移 ___个单位长度,得到的图象。
②.
再把的图象上各点的_横__坐标_缩短
__
的图象。
到原来的
__倍(_纵_
坐标不变),得到
③.
再把的图象上所有点的_纵_坐标_伸长
_的图象。
到原来的__3_倍(__横_
坐标不变)得到
学生总结上述变换过程:相位变换
①.
把
周期变换
振幅变换 或 向右
平行移
动
个单位长度,得
到
的图象上的所有的点 向左
的图象。
②. 再把不变),得到③. 再把
横_坐标不变)得到
的图象上各点的_横_坐标__缩短_
的图象。
的图象上所有点的_纵_坐标_伸长_
的图象。
或_伸长_到原来的__倍(_纵_坐标
或_缩短_为原来的_A_倍(_
B 、 深入探究,讨论分析: 预设问题:
教学的班级为 重点班,根据以往的教学经验,如果只研究一种顺序,有的学生会错误地认为
由
的图象向左
平移个单位得到
的图象,说明学生没有真正理解函数图象
的变化是看坐标(x,y )的变化量。预想到学生会犯这个错误,为了让学生更好地理解图象变化的实质,我选择不同的小组汇报,进而追问:为什么会有这种不同呢?原因是什么?学生们可以通过观察坐标表格中横坐标的变化,发现平移量。或者通过观察图象,发现平移量。因为在方案ω—
中,先进行了横向的伸缩,即横坐标变为了原来的上来看,点
和
倍,所以向左平移个单位;从坐标和解析式
分别满足两个解析式,也可以得到这个结论。
把
的图象上所有的点__向左_平移_
,还是
_个单位长度,得到函数,为什么?
个单位;先周期变换后相位变换时,
的图象。
问题4:第二种变换方法,平移量是
注意不同顺序中平移量的不同。先相位变换后周期变换时,需向左平移需向左平移个单位而不是个单位。平移量是由的改变量确定的。
学生总结第二种变换的规律:周期变换
把y =sinωx 的图象上的所有的点 向左
y =sin(ωx +φ) 的图象。
对比两种变换过程说明:先相位变换后周期变换平移先周期变换后相位变换平移
个单位长度。
个单位长度。
相位变换
或 向右
振幅变换 平行移动
个单位长度,得到
【设计意图】使学生由正弦曲线变化得到函数y =Asin(ωx +φ)(A>0,ω>0)的图象的不同方案有一
个整体的认识,并在掌握图象变化实质的基础上,择优选择。
(三)知识运用,巩固强化
【设计意图】练习及变式练习是对本节课重点和难点知识的巩固,通过学生的回答, 可了解学生对于函数图像变换的“形”、“数”思维的形成过程是否得到落实。
(四)归纳交流
1、学生谈本节课的学习体会。
2、正弦函数y =sinx 的图象变换到函数y =Asin(ωx +φ) 的图象:顺序可任意,平移尺度要注意。 3、数学思想:数形结合、从特殊到一般思想、化归思想。 (五)巩固作业
课本 2(写在作业本上),1(写在书上)
(六)学习效果评价设计
1.在学生动手实践、观察、思考问题的过程中,关注学生发现问题、解决问题的能力;并在进一步的学习过程中,观察学生的类比学习能力;
2.在各组共同学习、解决问题的过程中,观察学生合作交流、学习的能力; 3.对不同方案的对比学习中,了解学生把握事物本质的能力;
4.通过课堂活动与交流,了解学生对知识的掌握程度,通过反馈,对易错、易混的知识点,做出启发性的指导;
5.通过课堂小结,学生说出自己的收获,与别人分享学习数学的体会,激发学习数学的积极性,建立自信心。
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