范文一:两角和的正弦公式的证明
两角和的正弦公式的证明
两角和的正弦公式的证明
(广东省工业贸易职业技术学校528ooo)张宏
两角和的正弦公式是和角公式的第一个公
式,现行的高中课本有提到当两个角都是锐角时
的公式的证明,经过探研,当两个角都是锐角时的
公式的证明方法有多种,现给出六种证法.
A
1面积分解
解法1:由图1可知
S?ABc=S?ABD+
S?ADc,
所以1c6sinI-7f一
(a+]一
备课参考
1
9?. cc.sa?十号6c.S』
sinfer-(a+]一c.sa?告+c.S』9?.
si.n(a+—cosasinp+cosin口.
所以sin(a+—sinacoS』9+cosasin
解法2:由图2可知,直角梯形的面积等于三
个三角形的面积之和,也即:
(SiB~+sin~)(cosa+co一
图1-
口+×1×1×,I--gsln~eossinE7f一(口+?J+十XlXlX不一L十十
专si.
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,?,?,.?,?,.?.-,?,.?,,?,.?,?.,?,.??,.?,,?,.?,?%o~1b?,
即?0一(c0—60)一(口0一c0),
即(+一c)?c0=0+0?
两角和的正弦公式的证明 又a+6+c一0.即
n?a0+b?60+C?c0—0?
[标签:快照] 由??可得一,一,同
理
则n荫+6宿+c一—(一c.)+
(c.一口0)+(口0一bo)一0?
?类比猜想1:设J是三棱锥A—BCD的内切圆
的圆心,
则有Szx脚荫+s?AB.+s?.亩+
S?舢DJC一0.
结论2:如图1O,设AABC的三个顶点A,B,
C所对的三边长分别是a,6,C.已知点J为/XABC
的内心,过J作直线与AB,AC两边分别交于M,
N两点,且劢:z,一Y,则十三:两点,且=zAB,AN—Ac,则+?=
a+b+C.
证明:略.见参考文献1.
类比猜想2:如图11,任一经过三棱锥P—
ABC的内心J的平面分别与三条侧棱交于A,
B…C,且商一z,商 决问题的行动序列中出现类比的负迁移作用保
持
高度的警惕,我们就能够促使问题解决获得??圆满
成功”.
参考文献
1田富德.三角形内心的两个性质.数学通讯.2007(19)
备课参考
sinacosa+sinacosfl+sinflcosa+sinfleo一
sinacosaj厂sin(aj厂?j厂sinflcos8
所以sinacosfl+sinflcosa—sin(a+.
所以sin(a+J8)一sIn~CO+cosasinf1.
A
图2
2张角定理
/\/BD
图3
张角定理为中国人发现,其内容是:若三角形
内有一分角线,则被分角正弦与分角线之比等于
各分角正弦与不相邻边的比之和.
.
由图3并根据张角定理,可得
sin(a+f1)一sina+,
鍪lsin(叶_sina?AD+,
通lSin(a+—sinacosfl+cosasinf1.
3三弦定理
三弦定理为辽宁鞍山青年教师侯明辉在1985
害I言年发现,已被国家和国际数学部门承认.其内容
期l圭是:由圆上一点引出三条弦,中间一弦与最大角正
I弦的积等于其余每条弦与不相邻角正弦的积之
.LIl和.
由图4并根据三弦定理,可得
ADsin(a+—ABsinp+ACsina,
sin(a+一si+AC
sin口,
sin(口+一COS~Sin口+COs风ina,
仙×CD+.BC×AD—ACXBD.
也即:cosasinfl+sin~co一1XBD.
在直角三角形BDE中:
BD—BEXsin(a+一1Xsin(a+,
所以BD—sin(a+.
所以cosasinfl+sinaco=1Xsin(a+J9).
所以sin(a+—sinacosfl+cosasinf1.
5向量的数量积
?当a+?90.时,由图6可知
口?6一I口1.I61.cos[90.一(口+]=
1×1Xsin(a+=sin(a+.
y
(cos(90*.?”
f
.
h
一
1
y
/1
/(9o?:
l
?n
一
1
图6,图7
?当口+>90.时,由图7可知
口?b=l口卜lb卜cosF~一(90.一]一
1×1Xcos(a+一9O.)=sin(a+.
综合?与?,可知:口?6一sin(a+
另一方面,上述两种情况下都有:,
口?6一COS~COS(90.一+sinasin(90.一=
cosasinfl+sinacosfl=sinacosfl+cosasinfl
所以sin(a+—sinacosfl+cosasinf1.
6拼图
把图8棱形中的左上角的直角三角形移至右
下角,左下角的直角三角形移至右上角,拼成图9
所示的图形.
图4图5
4托勒密定理
由图5(圆的直径是1),因A,B,C,D四点共
圆,根据托勒密定理,可得:
图8图9
图8棱形的面积是:
[1×1×1Xsin(口+]×2=sin(口+
两个图形的总面积是相等的,所以有:
sin(a+—sinacosfl+cosasinf1.
范文二:《两角和与差的正弦公式》
江苏省清江中学数学一体化教、学案 高一(下) 第四章三角函数 编写人:韩怀兵
2003年1月22日星期三
课题:正弦公式
课型:新知课
目标:
1.知识目标:(1)会证明两角和与差的正弦公式,并能记住正弦公式。
(2)能够运用两角和与差的正弦公式。
2.隐性目标:(1)通过正弦公式的推导,进一步训练学生变形技巧;
(2)培养学生认识事物之间的普遍联系的哲学观点; 重点:两角和与差的正弦公式及应用
难点:两角和与差的正弦公式推导用应用
教学过程:
一、先行组织者:
1.回忆两角和与差的余弦公式,并求下列各式的值。
(1)cos (,,,,+) (2)cos (-) 3446
2.已知cos72?=0.3090,则sin18?= ___________________ 。
cos24?=0.9135,则 sin66?= _____________。
, sin3=0.1411,则cos (-3)=_____________。 2
二、新知:
,,1.尝试练习:试求sin (+)的值 34
2.两角和的正弦公式的推导:
两角差的正弦公式推导:
高一(下)数学第四章 三角函数之两角和与差的三角函数 第六节 两角和与差的正弦、余弦、正切公
式 共五课时
江苏省清江中学数学一体化教、学案 高一(下) 第四章三角函数 编写人:韩怀兵
2003年1月22日星期三
三、例题与练习:
练习1.求下列三角函数的值。
(1)sin75? (2)sin(-15?) (3)sin825?
2,33, 例1.已知sin,,,,,(,,),cos,,,,,,(,,),求sin(α-β),co s (α+β) 3242值:
练习2.课本P 3 、4的前两个、5 ()、()()()()()()381312123
13 例2.求满足 sinA-cosA=cos10?-sin10?的最小正角A。 22
四、自选练习:
,3,123已知,,,,,,cos(,,,),,sin(,,,),,,求sin2α的值。 44135
小结与作业:
学习后记:
高一(下)数学第四章 三角函数之两角和与差的三角函数 第六节 两角和与差的正弦、余弦、正切公
式 共五课时
江苏省清江中学数学一体化教、学案 高一(下) 第四章三角函数 编写人:韩怀兵
2003年1月22日星期三
高一数学课课练
班级___________学号_________姓名____________
一题一得 351.若A,B是?ABC的内角,且cosA=,cosB=,则sin(A+B)的值是( ) 513
56561616A. B.- C. D.- 656565652.Sin95?cos35?+sin35?sin365?=_________________。
3.在?ABC中,若sinAcosB=1+cosAsinB,则这个三角形一定是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
4.设000000, a,2(cos45sin14,sin45cos14)b,2(sin45sin16,
600,,则a、b、c的大小关系为( ) c,cos45cos16)2
A.a,b,ca,c,bb,a,cb,c,a B. C. D.
,5.若,,,,(0,),则下面不等式中成立的是( ) 2
A.sin(α+β) C.sin(α-β) ,,A.sin(x,)2cos(x,) B. 36 ,,C.2cos(x,)2sin(x,) D. 36 ,157.已知,其中a为锐角,求sina的值。 cos(a,),317 高一(下)数学第四章 三角函数之两角和与差的三角函数 第六节 两角和与差的正弦、余弦、正切公 式 共五课时 江苏省清江中学数学一体化教、学案 高一(下) 第四章三角函数 编写人:韩怀兵 2003年1月22日星期三 10sin(a,60),sina8.已知:,且0?< a=""><180?,则a =__________。="">180?,则a> 一题一得 9.已知,2,,52,30,,,,,,,cos(,,),,,sin(,,),,求sin(α+β) 6331335 的值。 10.在?ABC中,35,,求sinC的值。 sinA,cosB,513 高一(下)数学第四章 三角函数之两角和与差的三角函数 第六节 两角和与差的正弦、余弦、正切公 式 共五课时 淮滨高中2014—2015学年高一下期数学学案(49) 编写人:张明伟 高晓凤 审定人:张明伟 使用时间:2015年5月 3.1.2 两角和与差的正弦公式 【学习目标】 1、掌握两角和与差的正弦公式及其推导方法。 2、通过公式的推导,了解它们的内在联系,培养逻辑推理能力。并运用进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等变形。 3、掌握诱导公式 ?π??π? ?2??2?3π??3π??α, sin =- cosα, +α? -α? ?2??2? α,α, -α? +α?【学习重点难点】 (一)基本概念: 1. 两角和的正弦公式的推导 sin(α+β)= sin(α-β)=sinαcos β-sin αcos β (二)、典例选讲: 例1求值sin(χ+60°)+2sin(χ-60°)-3cos(120°-χ) 例2:已知sin(2α+β)=3sinβ,tan α=1,求tan(α-β) 的值. 例3:已知sin(α+βα-β求的值. 【课堂练习】 1. 在△ABC 中,已知则cosC 的值为 2. 2325tan αtan β1345π 435 已知π/4<α<3π/4,0<β<α,cos( +α)=-3/5,sin(3π/4+β)= 5/13 ,求sin(α+β) 的值. 3. 已知sin α+sinβ求cos α+cosβ的范围. 22 4. 已知sin α+sinβ,cos α+cosβ, 求cos(α-β) 3545π?5π??π?-χ)5. 已知 +χχ∈?0, ?,求函数у=cos(?的值域. 1212??2?? 6. 求的值. 【课堂小结】 2cos 10?-sin 20?cos 20? 教学单元设计 教学单元过程设计 教学内容 α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 【任务导入】cos( 知识链接 1、特殊角的正弦与正弦值 2、同角三角函数基本关系式 讲授新课 1.1两角和与差的正弦公式 1.1.1公式推导 由于-α)=sinα对于任意的α都成立,所以 π 2 sin(α+β)=-(α+β)]=-α)-β] 22 ππ =-α)?cosβ+ππ 2 2 -α)?sinβ =sinα?cosβ+cosα?sinβ sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinα?cos(-β)+cosα?sin(-β) =sinα?cosβ-cosα?sinβ 由此得到 1.1.2两角和与差的正弦公式 (与学生一起分析公式特点:角、函数名称、运算符号的排列顺序,引导学生感受公式和谐、轮换的匀称美感,从鉴赏的角度记忆公式.) 1.1.3公式应用 例1:求sin15?的精确值 解:(1) sin15?=sin(45?-30?)=sin45?cos30?-cos45?sin30? = 2321?-?=22226-2 . 4 练习1 :(1)求sin105?和sin75?的精确值. 例2: 求下列各式的值 (1) sin80?cos20?-cos80?sin20? (2) sin20?cos25?+cos20?sin25? (与学生一起分析所求式子的特点,从公式右端用到左端,共同求解(1),学生完成(2)的求解,强调公式逆用,培养学生的逆向思维能力。) 解:(1)原式=cos(80?-20?)=cos60?= 1 22 2 (2)原式=cos(20?+25?)=cos45?=练习2:求下列各式的值 (1) sin100?cos10?-cos100?sin10? (2) sin22.5?cos22.5?+cos22.5?sin22.5? 34 例3:设cosα=,cosβ=,并且α和β都是锐角,求sin(α+β)的值. 55 (师生共同分析:利用公式,首先要求出sinα与sinβ的值.) 解: 因为 cosα 34 =,cosβ=,并且α和β都是锐角, 55 4322 sinα=-cosα=,sinβ=-cosβ=, 所以 55 因此 sin(α+β)=sinα?cosβ+cosα?sinβ=练习3. sinα 4433 ?+?=1 5555 11 =,sinβ=,并且α和β都是锐角,求sin(α-β)的值. 23 4πππ (<><π),求-α),+α)>π),求-α),+α)> 变式训练:已知cosα=-(与学生一起分析sin( π 6 -α),需要知道sinα,引导学生求sinα的值,师生共同完成 -α) 的求解,sin(+α)的求解由学生完成.) 63 课后练习4:师生共同分析sin(α- ππ π 4 ),需要知道sinα,引导学生求sinα的值,因为 cosα=- 1225123π (-)=- ,所以sinα=--,从而求出,且π<> 1313132 sin(α- π 4 )的值。 【课后总结】熟练掌握两角和与差的正弦公式,并且要灵活运用这些公式解决有关问题。 (引导学生回忆所学公式,总结应用公式需要掌握的几种类型的题目,培养学生的自我反思能力)。 【作业】练习1.1.2的第1题、第2题、第3题; 汉中市龙江中学 高一数学必修四学案 第三章 三角恒等变形 &2。2两角和与差的正弦函数 高一数学必修四学案 第46课时 两角和与差的正弦函数 二.合作探究: 使用说明:先浏览教材117-118页和专家伴读105-106页,再逐字逐句仔细审题,独立规范作答。 教学目标:利用余弦公式推出两角和、差正弦公式,并能正用、逆用和灵活运用。 学习重难点:对两角和、差正弦公式能灵活运用应用。 一.自主学习: 1.(1)两角和与差的正弦公式:对于任意角α, β都有 sin(α+β) , sin(α-β ) =(2)辅助角的变换公式: a sin α+b cos α=________________________。 2. 若cos α=-12,sin β=α∈(π2, π), β∈(3π 2 ,2π), 求sin(α+β) ,cos(α-β) 的值. 3.化简: (1)sin 72 cos 42 -cos 72 sin 42 (2)sin 62 cos 28 -cos 118 sin 152 (3)sin 7?cos37?-sin83?sin 37? (4)12cos αα 1 4. 已知π 2<><><> 4 , cos(α-β) =1213,sin(α+ β) =-35, 求sin 2α的值。 三.课堂检测: 5. 函数f (x ) =cos2x 2x 的最小正周期和最大值分别是、 6. 化简 : (1 )cos π 6 +π 6 (2)αα 7. 已知cos(α+β) =513,cos β=4 5 , α, β均为锐角,求sin α的值。 四.课堂小结: 2 转载请注明出处范文大全网 » 两角和的正弦公式的证明范文三:两角和与差的正弦公式
范文四:两角和与差的正弦公式
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