第一单元知识整理与复习
一、基础知识检测。(55分)
(一)亿以内数的认识
1. 个(一) 、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿都是() 。
2. 计数单位所占的位置叫作()。
3. 从个位起向左每()为一级,分别是个级、万级、亿级 。十进 制数位顺序表是由三部分组成:()、()和()。
4. 每相邻两个计数单位之间的进率都是 ()。
5. ()个一万是十万, 10 个千万是() 。
(二)大数的读法
1. 从()位读起,先读()级,再读()级,最后读() 级。
2. 读亿级、 万级、 时按 () 的读法来读, 读完亿级加 () 字, 读 完万级加()字。
3. 每级末尾不管有几个 0,都(),其它数位上有一个 0 或连续 有 几个 0 都()。
(三)大数的写法
1. 从 () 位写起, 先写 () 级, 再写 () 万级, 最后写 () 级。
2. 哪个数位上一个()也没有,就在那个数位上() 占位。 注意:(1)写两级的数,个级要保证是()个数位;(2)写三级的数, ()级、()级要保证是四个数位。
(四)大数的比较
1. 先看位数,位数不同时,()的那个数大。
2. 位数相同时,从最高位比起,()的数大的那个数就大;如果最 高位上的数(),再比较()上的数,直到比较出()为止。 ( )最大的自然数,自然数的个数是() 。
(五)数的改写
1. 把整万数改写成以()做单位的数,只需去掉()的 4 个 0 , 在后面加上()字;把整亿数改写成以()做单位的数,只需去掉 ()的 () 个 0 ,在后面加上()字。
(六)求一个数的近似数
1. 接近于精确数,又不是精确数,这样的数叫作()。
2. 用() 法求近似数,用()连接,读作 ()。
3. 要看省略的尾数部分的最()上大于或等于 5 就要向前一位进 1, 再把它和后面的尾数都() ,改写成 0。 注意:改写前后相等时用“ =” 连接,如果改写后是近似数数的 用“≈”连接。
(七)计数方式的发展史及自然数的认识
1. 远古时代,人们用()、()、()等方式计 数,随着文字的发展人们开始使用()来表示数, 最后发展成现代化的 ( )。
2. 最小的自然数是 (),没有()的自然数,自然数的个数是 ()。
二 、 基础练习。(45分)
(一)填空。(16分)
(1)’一个数由 5个亿、 3 个千万、 3 个十万、 5个千和 8 个一组成,这个数是 () ,读作(),这个数四舍五入到到万位约是 ()万,四舍五入到亿位约是()亿。
(2) 一个数的近似数如果是 27万, 那这个数最大是 () , 最小是 ()
(3) 我们是与 1000000相邻的前后两个数,我们是()和() 。
(4)()内最大填几?
5() 639≈ 6万 718() 909≈ 719万
9() 408≈ 9万 29() 305≈ 30万
(5)()内都能填几?
171() 5000≈ 172万 1299() 6100≈ 13000万
959() 9600≈ 9600万 200() 840≈ 200万
(6)读一读,写一写。 (14分)
2003400 读作:4008005 读作:
4500060 读作:6024000602读作 :
2067000 读作:2076000 读作:
32000032 读作:308003000 读作:
7502060000 读作:100837600 读作:
四万一千零六十九 写作:二亿六千九百万 写作:
五千万零六百八十 写作:三十二亿零七百万 写作:
(7)把下面各数改写成以“万”或“亿”为单位的数。(6分)
890000= 960070000= 1200000000=
342000000= 7850000= 1083760000=
(8)把 9870000 ,10010000, 9780000、 1100000、 987000 0这五个数先改写, 再从大到 小排序。(5分)
(9) 467086020中每个 6表示的意义是什么?(4分)
六上数学第一单元整理稿
莒南县第一小学集体备课整理稿 年级:六学科:数学主备人:徐霞
单元内容:分数乘法整理人:徐霞时间:2016、9、01 一、课标方面:
1、《分数乘法》的课标要求是怎样的,
《义务教育数学课程标准(2011年版)》在“学段目标”的“第二学段”中提出了“掌握必要的运算技能”。
《义务教育数学课程标准(2011年版)》在“课程内容”的“第二学段”中提出“能分别进行简单的小数和分数(不含带分数)的加、减、乘、除运算及混合运算(以两步为主,不超过三步)”“能解决小数、分数和百分数的简单实际问题”“经历与他人交流各自算法的过程,并能表达自己的想法”的要求。
2、怎样解读《分数乘法》课标要求,
分数乘法是在学习了整数乘法、分数的意义和性质的基础上进行教学的,同时又是学习分数除法和百分数的重要基础。《义务教育数学课程标准(2011版)》提出:“掌握必要的运算技能”“能解决小数、分数和百分数的简单实际问题”。通过学习,学生将所学知识应用于解决实际问题,充分体现了“从生活中来,到生活中去”的课堂教学理念。 (1)利用熟悉的生活情境,使学生在已有知识经验的基础上,掌握新的运算技能。教材强调通过对算理的充分理解得
出算法。结合尝试计算、探索验证、比较优化、合作交流等活动,引导学生经历自主构建新知的完整过程。 (2)通过丰富多样的练习,使学生进一步理解新知,培养优化意识,提高运算能力。
1(注重在练习中对学生进行算法优化意识的渗透和培养。利用分数计算中“能先约分的可以先约分,再计算”、分数乘法简便计算等内容的教学,培养和训练学生灵活合理地选择计算方法的能力,以切实提高运算能力。
2(习题的编排注重与实际生活的联系,选用丰富的素材拓展学生的课外知识。既激发了学生的兴趣,又对良好思想品质的形成起到了积极影响。
)通过解决问题的教学,培养学生的分析推理能力,丰(3
富解题策略,感受数学在生活中的广泛应用,体会学习数学的价值。
强化对解决问题的方法指导。通过“阅读与理解”“分析与解答”“回顾与反思”的教学环节,既培养学生收集处理数学信息、提出问题分析问题的能力,又对数学思考方法进行有步骤的渗透,对于培养学生数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
进行解决问题方法的多样化教学。利用图形、线段图等方式帮助学生更好地理解数量关系,并强调了对结果进行检验的重要性。借助丰富的习题素材,使学生感受数学在生活中的
广泛运用,体会学习数学的价值。在解决问题的过程中获得成功的体验。
二、教材分析:
(一)教学内容和目标:
(1)教学内容:?分数乘法的意义。?分数乘法的计算。?利用分数乘法解决相关实际问题。
(2)教学目标:?使学生理解分数乘法的意义是整数乘法意义的扩展;理解和掌握分数乘法的计算方法,会计算分数乘整数、分数、小数;能运用乘法运算定律进行一些简便计算。
?使学生经历分数乘法计算方法的探索过程,经历应用分数乘法解决简单实际问题的过程,进一步培养分析、比较、抽象、概括、归纳、类推的能力,发展初步的合情推理和演绎推理的能力。
?使学生感受知识之间的内在联系,提高自主探索与合作交流学习的能力,建立学好数学的信心。
(二)教材的主要变化:
1、进一步理清分数乘法的意义。分数乘法的意义是整数乘法意义的扩展,二者在本质上完全一致,只是在表述方式上有所区别。不管是整数乘法还是分数乘法,其意义都可以归结为“几个几”,只不过,这里的两个“几”都既可以是整数,也可以是分数。
2、增加分、小数相乘的内容。
3、调整了用分数乘法解决实际问题的类型。 如前所述,学生已经在“分数乘法的意义和计算”中解决了“求一个数的几分之几是多少”的基本问题。这一基本数量关系的掌握对于解决更复杂的分数乘法问题至关重要。 此次修订增加了“连续求一个数的几分之几是多少”的问题。这一类问题是“求一个数的几分之几是多少”的延续,已知量和所求的量之间的关系没有直接给出,而是通过一个“中间量”搭建起二者之间的“桥梁”。在解决这一类问题时,需要学生把复杂的问题化归为基本的“求一个数的几分之几是多少”,并抓住这一基本数量关系中的几个关键要素:单位“1”是谁,所求的量是谁,二者之间是几分之几的关系,尤其要注意单位“1”与几分之几之间的对应关系。 4、把“倒数”的内容移至“分数除法”单元。 倒数是联结分数乘法和分数除法的纽带。在进行分数除法计算时,要用到“除以一个数,等于乘上这个数的倒数”这一结论,因此,把“倒数”安排在“分数除法”单元,更能体现出学习倒数的必要性。
(三)教材的具体编排
1、执教分数乘整数要注意的问题,
直接利用整数乘法的意义来引入分数乘法,使学生理解几个相同分数相加和几个相同整数相加都可以用乘法计算。并通
过将分数乘法转化为分数加法来探究分数乘法的算理,掌握计算方法。
从吃蛋糕的实际问题引入,借助圆形直观图帮助学生理解题意,探究计算方法。这一直观图延续了三年级学习简单的分数加法时所用的直观图,有助于学生利用已学的知识自主探索。此例中的分数带单位,是一个“量”,学生对于求几个相同量之和的数量关系非常熟悉。先呈现加法计算,然后直接根据整数乘法的意义列出两个乘法算式,说明在这种情况下整数乘法的意义同样适用。
计算时,先将分数乘法转化为几个相同分数相加,使学生明白分母不变、分子相乘的道理。在此基础上总结分数乘整数的计算方法,并指出有时可以先约分再相乘的简便算法。 2、怎样执教例2,
让学生利用已学的整数乘法的数量关系进行类推,列出分数乘法算式,结合具体情境,使学生理解“一个数乘几分之几可以表示求这个数的几分之几”。这是“求一个数的几分之几可以用这个数乘几分之几”的列式依据。
教材呈现了三幅图,都是已知1桶水的体积,分别要求3桶水、桶水、桶水的体积。在这里,列式所依据的数量关系都是“每桶水的体积×桶数=水的体积”,只是桶数可以由整数扩展到分数。接下来,结合情境,说明求桶水、桶
水的体积就是求12 L的和12 L的分别是多少。在此基础上,概括出“一个数乘几分之几,可以表示这个数的几分之几是多少”。
3、“分数乘分数”该怎样执教,
“求一个数的几分之几是多少,用乘法计算”列式之后,学习分数乘分数的计算方法。教材利用两个小题,由简单到复杂,结合直观操作,使学生在探索和理解分数乘分数算理的基础上,一步一步总结出分数乘分数的计算方法,渗透数形结合的数学思想,培养学生的逻辑推理能力。 要理解分数乘分数的算理,其根本在于分数意义的理解。在这里,有些分数是带单位的“量”,有些分数是不带单位的“率”,事实上,“量”与“率”也是可以互相转化的。例如,公顷,实际上就是1公顷的;公顷的,就是1公顷的
,即公顷。
4、怎样执教分数乘小数,
分数和小数相乘,可把分数化成小数相乘(如果分数可以化成有限小数),也可把小数化成分数相乘。不管哪种方法,都是学生已学的知识,可以让学生自行解决。而当小数与分数的分母存在某种倍数关系时,可以直接“约分”。这种约分虽然与以前学过的约分形式不同,但实质都是除以一个相同的数。
6、分数混合运算与整数混合运算有什么关系,
从“做一个长方形画框需要多长的木条”的实际问题引入,利用长方形画框的周长计算引出分数混合运算。鼓励学生用不同的方法(除了教材上的两种方法,还有可能用四条边相加的)计算,很自然地呈现各种形式的算式,有两级运算的,有带小括号的。教材直接说明分数混合运算的顺序和整数混合运算顺序相同,让学生自主解决。
教材特意用两道有关联的算式教学分数混合运算的顺序,为接下来正式教学把整数乘法运算定律推广到分数乘法作了很好的铺垫。在此基础上,再通过观察、计算,归纳得出“整数乘法的交换律、结合律和分配律,对于分数乘法也适用”的结论。
7. 如何执教例7,
教材结合具体计算,说明应用乘法运算定律可以使分数混合运算更加简便。
8. 如何执教例8,
本例是让学生在会解决求一个数的几分之几是多少的基础上,解决连续求一个数的几分之几是多少的实际问题。在这里,由于研究的是三个量之间的关系,在描述其中某两个量的数量关系时,单位“1”是在动态变化的。 教材按“阅读与理解”“分析与解答”和“回顾与反思”呈现解决问题的一般步骤。到了高年级,随着问题复杂度提高,
对于信息的搜集、题意的理解以及整个问题解答过程以及结果合理性的回顾与讨论,显得越来越重要。
在“分析与解答”环节,一方面,通过折纸或画图等操作活动,借助直观图形帮助学生理解题中的数量关系,体会画图是分析问题、解决问题的重要策略。另一方面,倡导解决问题方法的多样化。既可以先求出萝卜地的面积,再求出红萝卜地的面积;也可以先求出红萝卜地占大棚面积的几分之几,再求出红萝卜地的面积。不同解题思路的呈现,可以提高学生思维的灵活性和发散性。
“回顾与反思”让学生自己完成。检验的角度很多,比如,看看直观图画得是否符合题意,看看列式是否符合图意,看看计算是否正确。检验的方法也是多样化的。例如,可以看到萝卜地的面积是红萝卜地的4倍,而大棚面积是萝卜地的
222倍。用红萝卜地的60 m乘4,得到萝卜地是240 m,再乘
22,是480 m,与题中的信息相符。也可以看看红萝卜地的面积是否占整块萝卜地的。
时应注意哪些问题, 9. 执教例9
本例是让学生解决求比一个数多(或少)几分之几的数是多少的问题。虽然还是研究两个量间的关系,但由于没有直接给出“一个量是另一个量的几分之几”,需要先求出一个量比另一个量多(或少)的具体数量或者先求出一个量是另一个量的几分之几。
教材通过线段图直观地表示出“婴儿每分钟心跳的次数比青少年多”的意思,对于学生理解题意、选择解决方法起到了关键性的作用。
教材体现了多样化的解题策略。可以先计算婴儿每分钟心跳比青少年多多少次,这就需要先解决“75次的是多少次”的问题。还可以先求出婴儿每分钟心跳次数是青少年的几分之几,这就需要先解决“比一个数多的数是这个数的几分之几”的问题。
“回顾与反思”部分,使学生通过回顾解题的过程,充分认识到画线段图这一策略对于解决问题的重要作用。同时,列举了一种检验结果的方法,引导学生用不同的方法加以检验。
六上数学第一单元知识整理(开头)
第一单元 位 置
一、学情与教材分析:
本单元主要有三个知识点:根据位置写数对;根据数对标位置;平移旋转后位置的确定。 学生在学习本单元新知之前已经具备了用上下、左右、前后等方位词来描述物体相对位置的知识经验;学生在日常生活中也已累积了一定的确定物体相对位置的感性经验,如教室、电影票中的位置等,这些生活中的经验可帮助学生更好地理解和掌握本单元的内容。
二、知识要点整理:
1、方格中竖排叫列,横排叫行。确定第几列一般是从左往右数依次是第一列、第二列、第三列……确定行一般是从前往后数依次是第一行、第二行、第三行……
2、方格中的列和行既可以用数表示,也可以用字母表示,还可以用数和字母分别表示列和行。
3、用数对表示物体的位置,一般先列后行,如(4,2)是列在前,行在后,中间用逗号隔开,注意:两个数必须成对出现,不能单独出现。
三、总体目标预设:
1、知道确定位置的必要性,在现实情境中感受并学会探究确定物体位置的方法,能根据物体的排列规律确定物体的位置。
2、能在具体的情景中掌握确定位置的方法,并说出某一物体的位置。
3、突出在平面上确定物体位置的方法多样性和实质统一性:都需要两个数据,能在方格纸上用数对确定位置。
四、往年错题分析:
1、在方格中,在坐标中,横向标着的数表示的是列,纵向标着的数表示行,学生对这一点很不习惯,因为与他们的认知相冲突了。教学中建议不要过分去强调,可以引用画线条的方法,引导学生理解横向的数就是表示列。
2、旋转后的图形应该是什么样的,学生往往要错掉,画图时画不好,看图时看不懂。针对这个问题,先复习旋转的三要素:中心点、方向、角度。教育学生,一定要抓住这三点去分析理解。
[整理版]初二 数学小报
初二,,,,,数学小报
小明和小君是一对好朋友,这天,他们,,,,,又聚在一起玩了起来。小君拿出一张纸,写到:,,,,,已知3,,,,,和4,求证3=4.,,,,,看完后,小明不禁哈哈大笑起来:“3,,,,,怎么会等于4,,,,,呢,小君又犯傻了~”可小君不,,,,,理会小明,在纸上又写了起来:,,,,,解:假设a=b,,,,,则4a-3a=4b-3b,,,,,4a-4b,,,,,=3a-3b,,,,,4(a-b)=3(a-b),,,,,4,,,,,=,,,,,3,,,,,小明顿时傻了眼,聪明的你,能帮小明看,,,,,出来,小君在哪一步上错了么,,,,,,
人人都说几何难,难就难在辅助线。辅助线,如何添,把握定理和概念。,,,,,还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。图中有角平分线,可向两边作垂线。,,,,,角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。,,,,,线段垂直平分线,常向两端把线连。三角形中两中点,连接则成中位线。,,,,,三角形中有中线,延长中线等中线。平行四边形出现,对称中心等分点。,,,,,梯形里面作高线,平移一腰试试看。平行移动对角线,补成三角形常见。,,,,,证相似,比线段,添线平行成习惯。等积式子比例换,寻找线段很关键。,,,,,直接证明有困难,等量代换少麻烦。斜边上面作高线,比例中项一大片。,,,,,切线长度的计算,勾股定理最方便。辅助线,是虚线,画图注意勿改变。,,,,,基本作图很关键,平时掌握要熟练。解题还要多心
眼,经常总结方法显。,,,,,切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。分析综合方法选,困难再多也会减。,,,,,
1(锐角三角形,,,,,ABC,,,,,中,点,,,,,D,E,F,,,,,分别,,,,,在,,,,,BC,AB,AC,,,,,上,角B=角BED,角C=,,,,,角CFD,角A=50?,求角EDF,,,,,的度数.,,,,,2(小亮和爸爸各买了相同数量的信封,,,,,和信纸,小亮每发出一封信都只用一张,,,,,信纸,爸爸每发出一封信都用3,,,,,张信纸,,,,,,结果,小亮用掉了所有的信封,但余,,,,,下,,,,,50,,,,,张信纸;而爸爸用掉了所有的信,,,,,纸,但余下,,,,,50,,,,,个信封。则小亮和爸爸,,,,,买的信纸的张数、信封的个数分别为多,,,,,少,,,,,,阿衰去应征一份工作。经理问他道:「你要求多少工资一年,」,,,,,「一万八千元。」陈立言道。,,,,,经理注视了他一会才说:「值,,,,,年薪一万八千元,你计算清楚没有,一年只有365,,,,,天,你每,,,,,天睡觉花了八小时,则一年共花去122,,,,,天。365,,,,,天减去121,,,,,天。,,,,,再者,你每天除山作外有八小时是休息及娱乐的,即一年共,,,,,有122,,,,,天。那麽,243,,,,,天减去121,,,,,天了,只余下121,,,,,天了。但,,,,,是,一共有52,,,,,个星期,星期天不用上班,因此121,,,,,天减去52,,,,,天便剩下69,,,,,天。同时,逢星期六下午是放假的,则一年一共,,,,,26,,,,,天,所以69,,,,,天减去26,,,,,天余下43,,,,,天。再减公司给予的两星,,,,,期年假只剩下29,,,,,天。别忘了每天有一小时午餐时间即一年是,,,,,15,,,,,天。用29,,,,,减15,,,,,余下14,,,,,天。再除去新历年、旧历年、中秋节、复活节、感恩节以及圣诞,,,,,节等等公众假期共10,,,,,天,这就是说,一年只工作4,,,,,天。你认为值一万八千元吗,」,,,,,
数学论文之-----预习
预习,是我们学生必须学会的一种学习方法,预习可培养自学能力的独立思维能力。,,,,,因为预习是自己独立地接受新知识,需要自己独立阅读和思考,这就需要有较强的逻辑思维,,,,,能力。预习能开拓思路。经过预习,对要学的知识已经心中有数,容易跟上老师讲课的思路,,,,,,甚至可以跑到老师思路的前面去。预习可提高记笔记的水平。老师讲的内容大部分在书上都,,,,,有,由于做过预习,知道哪些内容书上有、哪些没有,就可有选择地做笔记。预习能增强记,,,,,忆效果。预习时,无论对看得懂的知识还是看不懂的知识,自己都经过独立思考,有了初步,,,,,印象,再加上课上老师的讲解、分析和自己的进一步学习,理解会更为深刻。理解了的知识,,,,,很容易记住,特别是经过努力而攻克的知识更容易记牢。预习有这么多的好处,那么我们到,,,,,底应该怎么预习呢,,,,,,
(1)浏览教材,初步了解新教材的内容。若在课前预习,时间较短,,,,,,浏览教材就宜快不宜慢,眼到心到,心到之处即可下笔画上记号。这样,就增强了听课的主,,,,,动性。,,,,,
(2)标记重点。针对思,,,,,考题,标出重点范围,特别是对,,,,,自己认为阐述不清楚或不全,,,,,面的地方更要留心。预习过程,,,,,中,可用彩色笔划出书上的重,,,,,要内容,在书上的空白处可以写,,,,,上批注、提要和心得,不懂的,,,,,地方要打上记号,把需要研究的,,,,,问题记下来,对课本作初步,,,,,“处理”标记之后,就知道下一,,,,,节课要讲的主要内容,有利于,,,,,做好课堂笔记。
(3)寻找疑难。对,,,,,教材中的新观点和疑难之处,,,,,,并非一定要在预习中全部弄清,,,,,楚,只要求知道难点在什么地,,,,,方,问题都有哪些就行了。找到,,,,,了疑难之处,听课就会专心致,,,,,志,从而增强学习的针对性。
(4),,,,,回想重温。如果时间允许,可以把书合上,自己独立地回想一遍,书上讲了哪几个问题,主,,,,,要思路是什么?这样做可以加强理解和记忆,并起到检查预习效果的作用。
(5)适当做点习题,,,,,或预习笔记。预习过后,不妨做点习题,这样就可以看出经过预习之后的效果,自己是否能,,,,,运用新学的知识来解决问题。也可以试着做点预习笔记,以此作为课堂笔记的基础。,,,,,课前做好预习工作,对自己的学习一定会有很大的帮助,但要切记,预习虽好,但绝,,,,,不能因为预习而不专心听讲,如果把知识比作宝藏,那课堂就是装有宝藏的宝箱,而预习就,,,,,是开启宝藏的那把金钥匙~,,,,,
华罗庚从小聪明好学,念初中时,在数学课上就表现,,,,,出了特殊的才华。一天王维克老师给全班出了一道数,,,,,学题,这是一道出自《孙子算经》的题目:“今朝有,,,,,物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数,,,,,之剩二,问物几何,”读完题目后,王老师把目光扫,,,,,向全班同学,一张张紧张思索的面孔,一道道疑惑不,,,,,解的目光尽在王老师的视野之内。突然,一个学生站,,,,,起来,说:“这物品是23,,,,,个。”这是个熟悉的声音,,,,,,这声音把同学们从思索和疑惑中唤醒过来。大家用惊,,,,,异的目光看着他。这个最先说出答案
的同学就是少年,,,,,华罗庚。华罗庚在解这道题时是这样想的:从“七七,,,,,数之剩二”开始,就是说,七数余二,那么七的倍数,,,,,再加二定是这个数,不防设这个数是7×3,2=23。再,,,,,对23,,,,,进行检验:23,,,,,被3,,,,,除,余2;23,,,,,被5,,,,,除余3,,,,,,因此,23,,,,,符合题目条件。,,,,,
欧拉是数学史上著名的数学家在好几个数学的领域中取,,,,,得了出色的成就。他小时候帮助爸爸放羊,一面放羊,,,,,,一面读书。他读的书中,有不少数学书。,,,,,爸爸的羊达,,,,,到了100,,,,,只。原来的羊圈小了,爸爸决定造一个新的羊,,,,,圈。他量出了一块长40,,,,,米,宽15,,,,,米的土地,面积600,,,,,平方米,平均每头羊占6,,,,,平方米。但打算动工的时候,,,,,,他发现材料只够围100,,,,,米的篱笆,不够用。若要围成长,,,,,40,,,,,米,宽15,,,,,米的羊圈,其周长将是110,,,,,米,,,,,(15+15+40+40=110)父亲很为难,若要按原计划建造,,,,,,就要再添10,,,,,米长的材料;要是缩小面积,每头羊的面积,,,,,就会小于6,,,,,平方米。小欧拉却向父亲说,不用缩小羊圈,,,,,,也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划。他有办法。,,,,,小欧拉以一个木桩为中心,将原来的40,,,,,米边长截短,缩,,,,,短到25,,,,,米。父亲着急了,说:"那怎么,,,,,成呢,那怎么成呢,这个羊圈太小了,,,,,,太小了。"小欧拉也不回答,跑到另一条,,,,,边上,将原来15,,,,,米的边长延长,又增加了10,,,,,米,变成了25,,,,,米。经这样一改,原来计划,,,,,中的羊圈变成了一个25,,,,,米边长的正方形。,,,,,父亲照着小欧拉设计的羊圈扎上了篱笆,100,,,,,米长的篱笆真的够了,不多也不少。面积也稍稍大了一些。后来,小欧拉1720,,,,,年,小欧拉,,,,,成了巴塞尔大学的大学生。
这一年,小欧拉13,,,,,岁,是这所大学最年轻的大学生。
数学小报2[整理版]
卡尔?弗里德里希?高斯(Johann Carl riedrich Gauss)(1777年4月30日—1855年2月 23日),生于不伦瑞克,卒于哥廷根,德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。他有数学王子的美誉,并被誉为历史上最伟大的数学家之一,和阿基米德、牛顿、欧拉同享盛名。
生平简介
高斯的成就遍及数学的各个领域,在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用,并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。
高斯幼时家境贫困,但聪敏异常,1792年,在当地公爵的资助下,不满15岁的高斯进入了卡罗琳学院学习。在那里,高斯开始对高等数学作研究。独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的“二次互反律”(Law o Quadratic Reciprocity)、“质数分布定理”(prime numer theorem)、及“算术几何平均”(arithmetic-geometric mean)。
1795年高斯进入哥廷根大学。1796年,19岁的高斯得到了一个数学史上极重要的结果,就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》。1798年转入黑尔姆施泰特大学,翌年因证明代数基本定理获博士学位。1801年,高斯又证明了形如"ermat素数"边数的正多边形可以由尺规作出。 从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长。
1855年2月23日清晨,高斯于睡梦中去世。
历史贡献
高斯分布——18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。通过对足够多的测量数据的处理后,可以得到一个新的、概率性质的测量结果。在这些基础之上,高斯随后专注于曲面与曲线的计算,并成功得到高斯钟形曲线(正态分布曲线)。其函数被命名为标准正态分布(或高斯分布),并在概率计算中大量使用。
在高斯19岁时,仅用没有刻度的尺子与圆规便构造出了正17边形(阿基米德与牛顿均未画出)。并为流传了2000年的欧氏几何提供了自古希腊时代以来的第一次重要补充。
三角形全等定理——高斯在计算的谷神星轨迹时总结了复数的应用,并且严格证明了每一个n阶的代数方程必有n个复数解。在他的第一本著名的著作《数论》中,作出了二次互反律的证明,成为数论继续发展的重要基础。在这部著作的第一章,导出了三角形全等定理的概念。
数学上的成就——高斯发现了最小二乘法原理。高斯的数论研究总结在《算术研究》(1801)中,这本书奠定了近代数论的基础,它不仅是数论方面的划时代之作,也是数学史上不可多得的经典着作之一。高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理,他的存在性证明开创了数学研究的新途径。高斯在1816年左右就得到非欧几何的原理。 他还深入研究复变函数,建立了一些基本概念发现了着名的柯西积分定理。他还发现椭圆函数的双周期性,但这些工作在他生前都没发表出来。1828年高斯出版了《关于曲面的一般
研究》,全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学,并提出内蕴曲面理论。高斯的曲面理论后来由黎曼发展。 高斯一生共发表155篇论文,他对待学问十分严谨,只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来。其著作还有《地磁概念》和《论与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律》等。
经典著作
1799年:关于代数基本定理的博士论文 (Doktorarbeit uber den undamentalsatz der Algebra)
1801年:算术研究 (Disquisitiones Arithmeticae)
1809年:天体运动论 (Theoria Motus Corporum Coelestium in sectionibus conicis solem ambientium)
1827年:曲面的一般研究 (Disquisitiones generales circa supericies curvas)
1843-1844年:高等大地测量学理论(上) (Untersuchungen uber Gegenstande der Hoheren Geodasie, Teil 1)
1846-1847年:高等大地测量学理论(下) (Untersuchungen uber Gegenstande der Hoheren Geodasie, Teil 2)
数学家的小故事
从一加到一百
高斯有许多有趣的故事,故事的第一手资料常来自高斯本人,因为他在晚年时总喜欢谈他小时后的事,我们也许会怀疑故事的真实性,但许多人都证实了他所谈的故事。 高斯的父亲作泥瓦厂的工头,每星期六他总是要发薪水给工人。在高斯三岁夏天时,有一次当他正要发薪水的时候,小高斯站了起来说:「爸爸,你弄错了。」然后他说了另外一个数目。原来三岁的小高斯趴在地板上,一直暗地里跟着他爸爸计算该给谁多少工钱。重算的结果证明小高斯是对的,这把站在那里的大人都吓的目瞪口呆。
高斯常常带笑说,他在学讲话之前就已经学会计算了,还常说他问了大人字母如何发音后,就自己学着读起书来。
七岁时高斯进了 St. Catherine小学。大约在十岁时,老师在算数课上出了一道难题:「把 1到 100的整数写下来,然后把它们加起来~」每当有考试时他们有如下的习惯:第一个做完的就把石板〔当时通行,写字用〕面朝下地放在老师的桌子上,第二个做完的就把石板摆在第一张石板上,就这样一个一个落起来。这个难题当然难不倒学过算数级数的人,但这些孩子才刚开始学算数呢~老师心想他可以休息一下了。但他错了,因为还不到几秒钟,高斯已经把石板放在讲桌上了,同时说道:「答案在这儿~」其他的学生把数字一个个加起来,额头都出了汗水,但高斯却静静坐着,对老师投来的,轻蔑的、怀疑的眼光毫不在意。考完后,老师一张张地检查着石板。大部分都做错了,学生就吃了一顿鞭打。最后,高斯的石板被翻了过
来,只见上面只有一个数字:5050(用不着说,这是正确的答案。)老师吃了一惊,高斯就解释他如何找到答案:1,100,101,2,99,101,3,98,101,……,49,52,101,50,51,101,一共有50对和为 101的数目,所以答案是 50×101,5050。由此可见高斯找到了算术级数的对称性,然后就像求得一般算术级数合的过程一样,把数目一对对地凑在一起。
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