范文一:三次函数对称中心的讨论
三次函数对称中心的讨论 理论研究NUDA0HANG
三次函数对称中心的讨论
文/付玉泉
三次函数近几年在高考中经常出现,除了对函数的单 调区间,极值等的讨论,关于三次函数的对称中心的问题 让一些同学摸不到头脑,本文对三次函数中心对称的问题 进行了讨论,旨在对三次函数的性质有进一步的了解. 对于三次函数.,(x)=ax3+b~+cx+d,一个疑问就是其图形 是否仍然象一次,二次函数那样具有对称性?如果对称,是 轴对称还是中心对称?如果有对称性,对称轴(中心)又是多 少?
分析:因为三次函数.)最高次项为三次项OyX3w所以其 图形不会是轴对称的.如果三次函数.)可以写成与 的线性表达式,即x)=kx,+Ix,那么该三次函数一定是中心 对称的,并且其对称中心为(O,O).推而广之,如果三次函数 可以写成.,()_=yo=(—粕)3+z(.‰),那么它同样是中心对称 的,并且其对称中心为(粕,)或(‰粕)).
照此思路,如果三次函数有对称中心(一m,n),则必然可 以表示成如)(+m)z(+m)+n形式,从而有
)=6陇6,2+c+d=口(+,)f(+打I)+
=a(x3+3mx2+3m2x+m3)+Z(+,n)+n =ax%3amx"+(3am2+/)++Zm+n f3am=b
所以{3am2+l=c
lam%lm+n--d
m=
}
即{z=3o~-b2
一jbc+d)或(一鲁一b)),且该对称中心在曲线上. 事实上,通过观察三次函数的图形我们不难发现,其对 称中心也是函数的拐点,而拐点的二阶导数等于0. f(x)=3ax%2bx+c
f'(x)=6ax+2b
令厂():0,可得一,恰好是对称中心的横坐标. 将一I_带人)的表达式,可以求得对称中心的纵 Ja
坐标
一
)-a.(一b)3+6?(一蚤)(一丢)
一丽b3+器一
=
2b3一
鲁
因此,利用二阶导数()=0容易得出对称中心为 (一丢,斋'-+d),实际使用时这种方法更适合于 求解选择题和填空题.
下面,我们通过一道题目来体会一下利用三次函数中 心对称性质求解题目的方便之处.
已知三次函数f()=x3+3x+14,若实数a,b满足 n=d+一(.)(6)=20,那么.+6的值是多少?
即a(卅鲁)3+3aJc.-b2(+砉)+d+笳一,所3n38Q厶lLC3氇 以)是中心对称的,且)的对称中心为(一等,器一 昙旦_+d).
ja
从另外的一个角度来说,如果三次函数是中心对称的
话,表达式中的二次项必然可以变换的过程中消除掉.由此,
我们可以从消除二次项的角度去证明. y--ax+62+c+d(口?O)
=口(矿+.矿)+c+d
a
+
丢)3-普一…d
_口(计丢)3+(c一)d-害/a")j口j口
=.(计
.sa
)+(c一
.sa
)(+
.3a)一(c一鲁)一a-j口jn,
(肿
.sa)一鲁)(时)+/a-一+d.,口j口j口
即y'[器一鲁+d1=+丢)3+(c一等)(肘鲁) 所以三次函数关于点(一砉,篑一鲁)中心对称 的.
由以上的证明可知,三次函数有对称中心(一, j口,a-
文理导航2011/8
L/.(6)
{//
/:/:
/
如上图,如果三次函数的对称中心为(m,,1),则任意两
(b,f(b)),由对 个关于对称中心的对称的点(o,f(a))和称的性质可知,a+b=2m,f(a)+,(b)=2n.
由前面讨论的内容可以求出对称中心. f(x)=3x2+6x+6
,()=+6
令.厂()=+6=O得到一1,而.厂(一1)_10 即三次函数.厂()的对称中心为(一1,10) 所以任意两个关于(一1,10)中心对称的点, 满足a+b=2×(一1)=一2(口)(b)=2xf(一1)=2o 所以叶6—2.
由此可以看出,利用三次函数中心对称的性质解相关问 题事半功倍.
(作者单位:重庆市第一中学)
范文二:函数对称中心的求法
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20 07 年 第 l 4, l 6 期
数学 通讯
9
函 对称 数心 中的 法求
刘才 华
广( 水 市第 中学一, 北 4 湖3 2 70 0 )
题
目( 湖省武北 汉 市 020 72年月 调 考 函) 数 厂 (z 一)X 一。3 x +6 x 7一的图 象 是 中 对心称 图 象 , 其对 中心为称
一
≠儿5 , -. . (, 一1要) 不对称是中心 , 故 对 称 中心
‘
为 1 ( 一3,) .
.
—
—解
法1 利 用 义定 求 对 称心中 . 根 据 心 中对称 形图 的 定义 ,函数 , ( z)图 象 上的
评注
这 里巧 妙地 在 函数图 象 上取 两个 特殊
点 ,构 建 关对于 称 中心坐 标 的方程 , 出解对 称心中, 但 要 注 意还 要 继 检 验 由 特续 殊点 求 出 的 解 是 否也 满 足 般一的 点 , 排 除增 解 . 解 法 巧3 构奇数函求对称中心. 把 函 Y一 , 数(z ) 变 形为+ 3一 ( z一1) 。 +3 z(— 1 ,) 函设数Y — g z ( ) +一 .zI . .Y— g( z ) 为 奇函数 , ... 对 中心 为其 0( 0 , 0), 又将 数 y函 一+z图的象 按向 量
4 一( 1 一3 , 平 移) 刚好得到 + 3一 (z —1) 。 3 +一 1) 的 图 , . . . 象Y 一 )的对 称z中 心是由 Y—g z ) 的对 ( 称
意 一任点 A( x )关 于 对, 称 心 中 n ( 6, 的) 称 点
A 对 ( z, y t ) 也在 数 ,函( z 的)图 象 上
? ..。
{
= = , t  ̄X一 2 a, 即 { X , t  ̄ 一 2 a 一- x . ,
.- A ( .2 —a ,X b— 2) .
代 入
函数 式, 2有6 一Y 一 (, 2 —za )(一2 n z—)
。
3 一 2 a(—z) +6 ( 2 — )一a7,
简, 得 Y— X 。 +化 3 (6—a ) x+( 21 a 1 一2a
6 )+ + (X2 b +—7 8 n。 1 2 a + 一1 2a ).
心 中0 (0 , O) 按 向量 一4( 1, 3一 )平 移 得 的到,即 ( 为 1 , 一
与它, (z )一 X 一3。 x +6x 一7 是 同一数 函,则
对 应数相等 ,系 ,
3 )
. . - .一Y , z() 对称 的心 为 ( 1 , 一中3) . 注评 这 里巧 地 构 妙造 奇数 函, 将 原 函数 看作
是由 奇函数 平 移 得 的到, 利 用奇 函数 关于原 点 对 称 性的质
, 这样 函 原数 的对 称 心 中 是 由就奇 函 数的对 称中心按量向平得移到的.
3—— 6一a —3— .
故
1 2 a 1 一2 a+6 — 6 ,
{ 2 6+ —7 n 。 81 2 a + , 一1z2 a一 7一.
.- . 一 1 n ,b一 3一. 即 函 数 , ( )z 对 的称 中 心为
( 1 一 3,) .
解
法 4 用 巧导函数 求 对称中 心 .
如
所图 示, 函若数, ( ) 的
对z中心称 为 x(o ,y ) o, 且 (点 z, Y )1 点 和 ( x2 y,2 是)函 数 图 象 上对 称 中心对 称 的 两 点 , 由 对
J,
评
注 利 用中 心 称 对定的义 求 解 是 基本 方 法 ,
}
—
察考基本概 念,通 过 同 一 函 数的对 应系 数 等相 建构
方解 程对出 称中心. 法 解 巧取2殊点特求 对称中心.
称性
知 , 函数 在X , X处 的 切 D J l 0 2
在
函数 , z( )的 图 象上 点取 (1 一3 ) ,, 2(, 1 ,)它 们 关 对 于称中心 ( n, 6 的对)称 分 别 点 为 ( a2一1 2 , 6+
3 ), ( 2一 2 ,a2 b 一 1 ). ,2 + 3一b( a— 21) 。 ( 一 a— 2 )1 +6 ( 一1 一)7,
线的斜 相 率等, 设斜率 k , 则为
( z)一 x3 一6 z+ x一6 ,
1
. . 3 x. 一6 x 6+一 0的 一两根 X为 l, X 2,则 X1 +
X —22 — 2 x,. o。. Xo 一 1 .
一11= 2 a(一2 ) 一3。( 2a一2 ) + ( 62a 一 ) 一27.
两 式相 减 , 得 ( 6 2 一5 aa+3 一 )0 .?
? 。
Y o 又 f(— o x 一,)( 1 ) 一 3一. - . .函数 ( ,z) 的 对
称中心 为 ( 1 , 一3) .
评
注 这里 分利用对称中心充的质:性 两关于 点
二 2
对称 心中对 , 称 则这两 点 处 切 的 平线行 , 样这 转 化 为 研 导究 函数, 导 函 数的 对 称轴就 是 对 称 心 中的横 坐标, 从 而
出求 中心 .此 法 适 仅用 求于三 次 函 数 对 称 的中心 .
又 对若 称心为中 (÷ 一,1 ) 则( ,o, 一 7 )关于
( , 一1 ) 的对÷称 ( 点3 ,5 应)在函数 图象上 而,,( ) 3
(
收稿1 3 期: 2 0 70— 40— 04 )
范文三:三次函数的对称中心问题
三次函数的对称中心问题
广州市第四中学高二3班 梁隽铭
指导教师 刘运科
对于三次函数y =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0),作出图象,经观察,发现其图象有四种形状:
可以发现,其图象具有中心对称性. 如何考虑求出y =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)的图象
的对称中心坐标呢?下面是我的探究过程.
先考虑较简单的两个特殊情况:
一、求y =ax 3+cx (a ≠0)的图象对称中心坐标.
此特殊情况较简单. 因y =ax 3+cx (a ≠0)是奇函数,故其对称中心坐标为O (0,0).
二、求y =ax 3+cx +d (ad ≠0)的图象对称中心坐标.
此特殊情况也较简单. 将y =ax 3+cx 的图象通过适当平移就可得到
y =ax 3+cx +d (ad ≠0)的图象. 当d >0时,将y =ax 3+cx 的图象向上平移d 个单位长
度,就可得到y =ax 3+cx +d (ad ≠0)的图象;当d <0时,将y =ax="" 3+cx="" 的图象向下平移d="" 个单位长度,就可得到y="ax" 3+cx="" +d="" (ad="" ≠0)的图象.="" 因y="ax" 3+cx="" 是奇函数,对称中心坐标为o="" (0,0),故y="ax" 3+cx="" +d="" (ad="" ≠0)的图象对称中心为p="" (0,d="">0时,将y>
上面两个特殊情况,主要是利用了奇函数的性质、平移的性质. 有了上面两种情况
的铺垫,似乎求y =ax 3+bx 2+cx +d (ab ≠0)的图象的对称中心坐标较容易了,其实不然. 因y =ax 3+bx 2+cx +d (ab ≠0)是非奇非偶函数,无法从奇偶性方面找到突破口. 下面先来
考虑当ab ≠0时,最简单的一个具体实例:
三、求y =x 3+x 2的图象对称中心坐标.
首先,利用GC ,探究y =x 3+x 2的图象对称中心坐标. 步骤:
①.画出f 1(x )=x 3+x 2的图象,并适当调整x 、y 的取值范围,如图1;
②.观察图象,函数有两个极值点,对称中心应该是两个极值点的中点. 按MENU 键,选择菜单的FCN 键,再选择Extremum ,OK ,可以得到一个极值点(0,0);移动光标到另外一个极值点附近,重复刚才的操作,得到另外一个极值点 -,f
3
?2
?3?-2??
??,如图2、3; ?3??
2
1??1?2??12?③.求出两个极值点的中点 -?,画出f 2(x )= x -?+ x -?-的图象3327327??????
如图4,可求f 2(x ) 的两个极值点,发现是关于原点成中心对称的,如图5、6;
④.故可知,f 2(x ) 是奇函数,对称中心为O (0,0);故f 1(x )=x 3+x 2的对称中心为
?12?
P -
?. ?327?
图1
图2
图3
图4
图5
图6
那么,如果不使用图形计算器,该如何考虑呢?受到第二种特殊情况的启发,考虑到
y =x 3+x 2的图象可能是由某个奇函数y =ax 3+cx (a ≠0)通过适当平移得到,故有如下
的解法:
【解】设将y =ax 3+cx (a ≠0)的图象通过适当平移可以得到y =x 3+x 2的图象,
3
则可设y =x 3+x 2=a (x -m )+c (x -m )+n ,
显然,a =1,故
y =x 3+x 2=(x -m )+c (x -m )+n =x 3-3mx 2+(3m 2+c )x +(n -m 3-cm ),
3
比较系数,可知:
?-3m =1?2
?3m +c =0
?n -m 3-cm =0?
解得m =-,c =-,n =
3
3
2
13132. 27
1?1?1?2?
故y =x +x = x +?- x +?+,
3?3?3?27?
将y =x 3-
211
x 的图象向左平移个单位长度,再向上平移个单位长度,
2733
即可得到y =x 3+x 2的图象. 因y =x 3-
1
0), x 的图象对称中心坐标为O (0,
3
?12??327?
故y =x 3+x 2的图象对称中心坐标为P -?.
将此法推广到一般情况,就可以解决求y =ax 3+bx 2+cx +d (ab ≠0)的对称中心
坐标问题:
四、求y =ax 3+bx 2+cx +d (ab ≠0)的对称中心坐标. 【解】设y =ax 3+bx 2+cx +d =a (x -m )+k (x -m )+n ,
3
3
a (x -m )+k (x -m )+n =ax 3-3amx 2+(3am 2+k )x +(n -m 3-km ),
比较系数,有
?-3am =b ?2
?3am +k =c ?n -m 3-km =d ?
b b 2b 3b 3bc
解得m =-,k =c -,n =-+2-+d , 3
3a 3a 27a 9a 3a
?b ?b 3b 3bc
故y =ax +bx +cx +d (ab ≠0)的对称中心坐标为 -,-+-+d ?. 32
3a 27a 9a 3a ??
3
2
五、综上,
y =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)的对称中心坐标为
?b ?b 3b 3bc
-+2-+d ?. 在上面的解题过程中,我们先考虑特殊情况,再考虑一般情况. -,3
9a 3a ?3a 27a ?
对于b =0的情况,利用了奇函数性质、平移性质来求解;对于b ≠0的情况,利用待定系数
法求解. 下面我们利用导函数的相关知识来解决此问题.
六、利用导数知识,求y =f (x ) =ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)的对称中心坐标.
【解】f /(x )=3ax 2+2bx +c ,其判别式?=4b 2-6ac ,导函数图象对称轴方程为
x =-
b . 3a
⑴.当?>0时,导函数有两个零点x 1、x 2,y =f (x ) 有一个极大值、一个极小值,两个极值点的中点即为对称中心,故对称中心横坐标为x =
x 1+x 2b
,纵坐标为=-
23a
b 3b 3bc ?b ?
f -?=-+2-+d . 3
27a 9a 3a ?3a ?
⑵.当?≤0时,若a >0,则f /(x )≥0恒成立,y =f (x ) 在R 上单调递增,当x =-时,f /(x )取到最小值,函数增长率最小,对应y =f (x ) 图象上的对称中心点;
若a <0,则f x="" )≤0恒成立,y="f" (x="" )="" 在r="" 上单调递减,当x="-到最大值,函数增长率最大,对应y" =f="" (x="" )="">0,则f>
b
3a
b
时,f /(x )取3a
b
故对称中心横坐标为x =-,纵坐标为
3a
b 3b 3bc ?b ?
f -?=-+2-+d . 3
3a 27a 9a 3a ??
七、一点心得
图形计算器可以将抽象问题直观化,给我们提供思考的方向,加深我们对问题的理解;但机器毕竟是机器,不可能替代人的思维. 我们要合理使用好图形计算器,要用好它,而不是依赖它,被机器所奴役.
范文四:函数对称中心的求法解析
函数对称中心的求法解析
湖北省广水市第一中学(432700) 刘才华
题目 函数f(x)?x?3x?6x?7的图象是中心对称图象,其对称中心为________.
一、利用定义求对称中心
分析 根据中心对称图形的定义,在函数f(x)图象上的任意一点A(x,y)关于对称中心32(a,b)的对称点A?(x?,y?)也在函数f(x)的图象上.
?x?x??2a?x??2a?x∴?,即?. ∴A?(2a?x,2b?y), ??y?y?2by?2b?y??
代入函数式有:2b?y?f(2a?x)?(2a?x)?3(2a?x)?6(2a?x)?7,
化简得:y?x?(3?6a)x?(12a?12a?6)x?(2b?7?8a?12a?12a),
与f(x)?x?3x?6x?7是同一函数,则对应系数相等, 323223232
?3?6a??3?故?12a2?12a?6?6,∴a?1,b??3,即函数f(x)的对称中心为(1,?3). ?2b?7?8a3?12a2?12a??7?
点评 利用中心对称的定义求解是基本方法,考察基本概念,通过同一函数的对应系数相等构建方程解出对称中心.
二、巧取特殊点求对称中心
分析 在函数f(x)的图象上取点(1,?3)、(2,1),它们关于对称中心(a,b)的对称点分别为(2a?1,2b?3)、(2a?2,2b?1)也在函数f(x)的图象上.
32??2b?3?(2a?1)?3(2a?1)?6(2a?1)?726(2a?5a?3)?0, ∴?,相减则32??2b?1?(2a?2)?3(2a?2)?6(2a?2)?7
3?a??a?133?∴?或?2.又若对称中心为(,1),则(0,?7)关于(,1)的对称点(3,9)应在函22?b??3?b??1?
数图象上,而f(3)?11?9,∴(,1)不是对称中心,故对称中心为(1,?3).
点评 这里巧妙地在函数图象上取两个特殊点,构建关于对称中心坐标的方程,解出对称中32
心,但要注意由特殊点求出的解是否也满足一般的点,因此还要继续检验,排除增解.
三、巧构奇函数求对称中心
分析 把函数y?f(x)变形为y?3?(x?1)?3(x?1),设函数y?g(x)?x?x,∵33
?y?g(x)为奇函数,∴其对称中心为O(0,0),又将函数y?x?x的图象按向量a?(1,?3)平3
移刚好得到y?3?(x?1)?3(,∴y?f(x)的对称中心是由y?g(x)的对称中心x?1)3
?O(0,0)按向量a?(1,?3)平移得到的,即为(1,?3).∴y?f(x)的对称中心为(1,?3).
点评 这里巧妙地构造奇函数,将原函数看作是由奇函数平移得到的,利用奇函数关于原点对称的性质,这样原函数的对称中心就是由奇函数的对称中心按向量平移得到的.
四、巧用导函数求对称中心
分析 如右图示,若函数f(x)的对称中心为(x0,y0),且点(x1,y1)
和点(x2,y2)是函数图象上关于对称中心对称的两点,由对称性知,函数
在x1,x2处的切线斜率相等,设斜率为k,则f?(x)?3x?6x?6?
k22∴3x?6x?6?k?0的两根为x1,x2,则x1?x2?2?2x0,∴x0又y0?f(x0)?f(1)??3.∴函数f(x)的对称中心为(1,?3).
点评 这里充分利用对称中心的性质:两点关于对称中心对称,则这两点处的切线平行,这样转化为研究导函数,导函数的对称轴就是对称中心的横坐标,从而求出对称中心.
范文五:函数对称中心
函数图像的中心对称性
一、结论
结论1. y = f (x) 为奇函数函数? f (x)的图像关于原点O 对称?f (x) + f (-x) = 0
结论2. 函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称? f (x) + f (2a-x) = 2b
f(x) + f(2a – x)=2b?f(x+a) + f(a – x)=2b;
结论3. 函数y = f (a x+b)为奇函数,则有f (-ax+b) + f (ax+b) = 0
结论4. 函数y -k =
二、练习:
1. 若函数f(x)= (x+ a)3对任意的实数x 都有f(1+x) = - f(1- x), 则 f(2) + f( - 1)的值是_____________.
2. 函数f(x)的定义域为x ∈R ,且x ≠1,已知f(x+1)为奇函数,当x< 1进,f(x)="2" x2="" –="" x="" +="" 1,="" 则当x=""> 1时f(x)的递减区间是________________.
3.设 y = f ( 2 x + 1 ) 是一个奇函数,则y = f ( x ) 的对称中心是_______________.
4. 已知函数f(x)的定义域为x ∈R ,且满足f(x)=- f(4 – x), 当x > 2 时f ( x) 单调递增, 已知m+n < 4,="" (m="" -="" 2)="" (="" n="" –="" 2="" )="">< 0,="" 则="" f="" (="" m)="" +="" f="" (n="" )="" 的值是="" (="">
(A ) 恒小于0(B )恒大于是0 (C) 可以为0 (D) 可正可负
5. 已知f (x) + f (2 – x) + 2 = 0 对任意实数恒成立, 则函数f (x) 图像关于_______对称
6.函数 y =
7. 设x 是整数,给出一个流程如图, 按此流程图计算,刚好处理3次,则输入的x 的值是___________
a 的对称中心为 (h, k) x -h 2x +3的图像的对称轴是___________, 对称中心___________. x +1
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